Buongiorno a tutti!
Vi propongo il mio quesito (nella speranza che sia chiaro):
Sia G un gruppo finito A un p gruppo abeliano elementare con A un sottogruppo normale di G. Allora se p non divide l'ordine di G/A, si ha che A è prodotto diretto di sottogruppi normali minimali di G.
Dim
Ovviamente A si può riguardare come $Zp$ spazio vettoriale
Definisco l' applicazione:
$\psi(g):a in A->a^g in A$ (coniugato)
per come l' ho costruito $\psi(g) in GL(A)$, dunque definisco l' omomorfismo:
$psi:g in G->f(g) in GL(A)$, una $Zp$ rappresentazione di G.
Siccome il nucleo di psi è proprio il centralizzante in G di A e A per ipotesi è abeliano, allora A è contenuto nel nucleo di $\psi$, per cui $\psi$ determina:
$overline(psi):gA in G/A->\psi(g) in GL(A)$ una Zp rappresentazione di G/A.
Nel mio caso il campo K è $Zp$ quindi la caratteristica di $Zp$ è p, ma per ipotesi so che p non divide l' ordine di G/A ...a questo punto vorrei usare il teorema di Mashke ma se lo faccio perdo di vista A come faccio a dimostrare che A si decompone in un prodotto diretto di sottogruppi normali minimali?
Ringrazio anticipatamente tutti quelli che mi vorranno rispondere