Proprietà di uno spazio vettoriale

[Overflow94]

Sto cercando una dimostrazione della seguente affermazione trovata su un testo.

Dato il campo $F$ e il gruppo abeliano $M$, e definita un'azione di $F$ su $M$ che renda $M$ un $F$-modulo, ovvero uno spazio vettoriale, presi $v \in F$ e $x \in X$ con $v!=0_F$ e $x!=0_M$ allora $vx!=0_M$.

In altre parole in uno spazio vettoriale $0_F$ è l'unico elemento la cui azione annichilisce un vettore.

[solaàl]

L'azione di $F$ su $M$ consta di un omomorfismo di anelli $r : F \to End(M)$; del resto $F$ è un campo, ed \(r\) non è l'omomorfismo nullo, quindi \(\ker r=0\).

[Overflow94]

Grazie per la risposta. Però la tua argomentazione ci dice che $vx=0$ non può valere per ogni $x$ ($v$ non può agire come l'endomorfismo nullo), se non ho capito male, voglio dimostrare che non è valida neanche per un singolo valore di $x!=0$, ovvero che $v$ agisce come un endomorfismo iniettivo (automorfismo in caso in cui $M$ sia finito).

[solaàl]

Beh, $r$ manda elementi invertibili in elementi invertibili... quindi fattorizza lungo $Aut(M)$.

[Overflow94]

Non comprendo la tua risposta "manda elementi invertibili in elementi invertibili", in un gruppo abeliano tutti gli elementi sono invertibili rispetto all'operazione di gruppo. Conosco solo la definizione di modulo e non vedo un passaggio diretto con cui dimostrare questa proprietà a partire delle proprietà delle operazioni.

[solaàl]

Il codominio di $r$ è l'anello degli endomorfismi di $M$.

[Overflow94]

Ok, adesso ho capito

[Stickelberger]

Alternativamente

Lemma $v*0 = 0$ per ogni $v\in F$.

Dim. $v*0 + v*0 = v*(0+0) = v*0$ e quindi

$0 = v*0 + -(v*0) = (v*0 + v*0) + -(v*0) = v*0 + (v*0 + -(v*0)) = v*0 + 0 = v*0$.

Prop. Se $v!=0$, allora $v*x=0$ implica che $x=0$.

Dim. $x = 1*x = (v^(-1)*v)*x = v^(-1)*(v*x) = v^(-1)*0 = 0.$