Salve, discutendo con il mio coinquilino, studente di fisica, ho notato una versione che non avevo mai visto del lemma di Burnside. E stavo cercando di capire come sono legate, se lo sono, ma non riesco.
La versione che ho sempre visto io è, che se \(G \) è un gruppo e \( X \) un \(G\)-insieme, allora
\[ \left| X/ G \right| = \frac{1}{\left|G\right|} \sum_{g \in G} \left| X^g \right| \]
dove \( X^g = \{ x \in X : g \cdot x = x \} \).
Mentre la versione che ha lui per quantistica è che dato un gruppo \( G \) e le sue rappresentazioni irriducibili \( \Gamma_1, \ldots, \Gamma_{n} \) allora
\[ \left| G \right| = \sum_{i=1}^{n} \left( \dim (\Gamma_i) \right)^2 \]
Mi chiedevo se semplicemente hanno lo stesso nome oppure se sono legate e sono io che non vedo il legame.
Premetto che non ho mai fatto rappresentazioni dei gruppi.