Il duale è un funtore rappresentato?

[marco2132k]

Se \( V \) è uno spazio vettoriale sul campo \( K \), c'è un funtore (controvariante) ovvio \( \mathit{Vect}_K^{\mathrm{op}}\to\mathit{Vect}_K \) che mappa uno spazio sul suo duale, e un'applicazione lineare \( \phi \) col la pre-composizione \( {-}\circ\phi \). Questo ragazzo sarebbe il funtore (controvariante) rappresentato dallo spazio \( K \), se non che il funtore rappresentato ha codominio in \( \mathit{Set} \).

La domanda è, quindi: "gli homset della categoria \( \mathit C \) hanno struttura" si può formalizzare? Se sì, si può dimostrare che le immagini dei morfismi per i funtori rappresentati sono per forza mappe che preservano questa struttura?

Ah, formalmente non so ancora nulla sui funtori rappresentati (rappresentabili): li definisco semplicemente come i curried di
\[
\hom_{\mathit C}(-,-)\colon{\mathit C}\times{\mathit C}\to\mathit{Set}
\]

[solaàl]

Sì, certo che si può formalizzare. Hai appena riscoperto la nozione di categoria arricchita. https://en.wikipedia.org/wiki/Enriched_category