La struttura generale delle soluzione di un'equazione diofantea è, come nel caso "lineare" a coefficienti in un campo, e con la "stessa" dimostrazione (salvo che i coefficienti son presi in un anello e non in campo):
soluzione particolare più nucleo (o "sizigie"),
perché la risoluzione di una tale equazione corrisponde a calcolare la fibra (=controimmagine) di una applicazione $\mathbb Z$-lineare da un qualche $\mathbb Z^k$ verso $\mathbb Z$. Un possibile quadro teorico è la teoria dei moduli finitamente generati su un dominio a ideali principali (PID), in particolare gli $\mathbb Z$-moduli, e la cosiddetta "forma normale di Smith" (Smith normal form), non ho controllato se i conti di 3m0o corrispondono a quelli dell'algoritmo classico, ma l'idea è quella:
https://core.ac.uk/download/pdf/82343294.pdfhttps://en.wikipedia.org/wiki/Smith_normal_formNei casi più semplici, le equazioni diofantee possono essere risolte abbastanza semplicemente, a mano, usando l'algoritmo euclideo per il calcolo del MCD.
Esempi(1) $6x-21y=58$: non ha soluzioni
intere perché 58 non è divisibile per 3;
(2) $6x-21y=57$: ora $57=3*19$ è divisibile per 3 e MCD(6;21)=3 perché,
per il
teorema di Bezout:
https://it.wikipedia.org/wiki/Identit%C ... %C3%A9zout)
$6*4-21*1=3$,
quindi una
soluzione particolare dell'equazione è data dalla coppia $v:=(4*19;1*19)$, mentre il
nucleo dell'applicazione "lineare" $f(x;y):=6x-21y$ si trova risolvendo, in $\mathbb Z^2$, l'equazione $6x-21y=0\iff 2x=7y$, ma poiché $2$ e $7$ sono primi tra loro e $x$ e $y$ sono interi, deve essere $x=7h$ e $y=2h$ per qualche (lo stesso...) intero $h$. Le soluzioni intere dell'equazione $6x-21y=57$ sono quindi tutte e sole quelle della forma
$(x;y)=v+\ker f=(76; 19)+h(7; 2)=(76+7h; 19+2h)$ al variare di $h$, arbitrariamente, negli interi.
Il caso con più di due incognite, salvo casi banali, si tratta meglio, come ti ha mostrato 3m0o, col formalismo delle matrici.
Non mi sembra sia un argomento da liceo, se non per qualche approfondimento/gara/eccellenza...