Grazie a chiunque avrà tempo e voglia di leggere e rispondere.
Lemma Sia $F$ un campo di caratteristica zero tale che ogni estensione finita $K$ di $F$, $K\ne F$,sia tale che $[K : F]$ sia divisibile per un numero primo $p$. Allora ogni estensione finita di $F$ ha come grado una potenza di $p$.
Dimostrazione
Sia $K$ un'estensione finita di $F$. Non è restrittivo supporre che $K$ sia un'estensione normale di $F$. Sia $G(K,F)$ il gruppo di Galois di tale estensione. Dato che $[K : F]$ per ipotesi è divisibile per $p$, e dato che $[K : F] = |G(K,F)|$, se $|G(K,F)|$ è divisibile per $p^\alpha$, ma non per $p^{\alpha+1}$, allora, per i Teoremi di Sylow, $G(K,F)$ conterrà un sottogruppo $H$ di ordine $p^\alpha$. Il campo fissato $K_H$ è tale che:
$[K_H : F] = \frac{|G(K,F)|}{|G(K,K_H)|} = \frac{|G(K,F)|}{|H|}$
e quest'ultimo non è divisibile per $p$. Quindi deve essere $[K_H : F] = 1$, cioè $K_H = F$, da cui $G(K,F) = H$ , per cui $[K : F] = |G(K,F)| = p^n$ per qualche $n$. $\square$
Per la prima parte evidenziata mi chiedo perché non sia restrittivo, non mi sembra venga utilizzata la seconda ipotesi sulla divisibilità. Mentre la caratteristica zero serve per avere direttamente un'estensione galoisiana , una volta supposta la normalità, e quindi applicare poi il teorema sulla corrispondenza di Galois.
Essendo $K$ finita, è anche algebrica su F e si può applicare il teorema dell'elemento primitivo perché $F$ è un campo perfetto. Quindi esiste un $\gamma \in K$ tale che $K =F(\gamma)$.
Si ha allora che $[ K : F] = [F(\gamma) : F]$ $=$ grado del polinomio minimo di $\gamma$ su $F$ $= n$.
In questo caso per provare che $K$ è un'estensione normale di $F$ è sufficiente provare che solo questo polinomio si spezzi su $K$. Ma non è affatto detto che $F(\gamma)=K$ sia il suo campo di spezzamento.
Per la seconda parte evidenziata. Dal teorema fondamentale della teoria di Galois sappiamo che $K_H$ è un'estensione normale su $F$ essendo $H = G(K,K_H)$ sottogruppo normale di $G(K,F)$.
Se $|G(K,F)| = p^\alpham$ con $p$ e $m$ coprimi allora $[K_H : F] = m$ per la transitività delle estensioni finite.
Io riesco a spiegarmi quell'$1$ solo se $G(K_H, F)$ è un $p$-gruppo e quindi un sottogruppo di $H$.
Ma ad esempio se $\phi$ è un $F$-automorfismo di $K_H$ come può essere $\phi \in G(K,K_H)$ avendo insiemi di partenza diversi? Quindi escluderei questa possibilità.
Per l'ultima riga della dimostrazione credo ci sia un errore. Se $|G(K,F)| = |H|$ allora $|G(K,F)| = [K : F] = p^alpha$ e non $p^n$ per qualche $n$.
