[Omomorfismo]Non ne capisco la risoluzuone

[AlexanderSC]

Condividerò immagini visto che un paio di queste formule e simboli non sono supportati dal sistema di commento:



Siccome non l'ho scritto nel titolo, qui si stiamo parlando di permutazioni, quindi S4 è l'insieme di tutte le permutazioni possibili di un qualsiasi insieme di 4 elementi;

Per chi non riesce a leggere bene c'é scritto "nel suo cubo x^3 = . . . "

La mia idea era trovare un semplice controesempio usando due permutazioni da 4 elementi:
T1 = (1234) e T2 =(2143)

Prima applicare l'operazione di composizione, e poi al risultato la funzione, e controllare se equivalga al risultato ottenuto da prima applicare la funzione sui singoli operandi, e infine applicare l'operazione di composizione.

$ f(T1@ T2) = f(T1) @f(T2) $

Fossero risultati differenti allora non ci sarebbe un omomorfismo

Il risultato dell'operazione di sinistra è : (1)(2)(3)(4) cioè la "permutazione identica" $ 1x $
Mentre per quella di destra: (432)(1)

Quello che non mi è chiaro è invece lo svolgimento della persona che ha svolto questo esercizio:



Ho capito che il ker è formato da tutti quegli elementi di S4 che elevati alla terza, ridanno l'identità (1)(2)(3)(4).
Le mie domande sono queste:
1)Come ha fatto a trovare gli elementi del ker così velocemente? Esiste una regola per cui, un n-ciclo elevato alla n ridia sempre la permutazione identità( cioè (1)(2)(3)(4) )? Permutazione identità elevata a qualsiasi n ridarà sempre la permutazione identità?
2) Che intende dire con $ kerPhi <S4 $ ?
3) Come mai la cardinalità del ker deve riuscire a dividere la cardinalità di S4, affinché ci sia un isomorfismo?
Non mi ricordo una cosa del genere nel teorema di Lagrange.
4) La cardinalità di S4 ( = 24 ), si riferisce nella funzione al primo S4, o al secondo?
5) Il mio procedimento è sbagliato rispetto a questo?

[hydro]

1) Ogni elemento di $S_n$ ha una scrittura unica in cicli disgiunti. Se un ciclo di $S_n$ ha lunghezza $k$, ha anche ordine $k$. Per vedere questa cosa basta pensare un momento al significato della scrittura in cicli. Adesso se hai un elemento che si scrive come prodotto di cicli disgiunti di lunghezza $k_1,\ldots,k_r$, il suo ordine è $\lcm(k_1,\ldots,k_r)$. Tu sei in $S_4$, quindi un elemento si decompone in uno dei seguenti modi:
a) è l'identità, quindi 4 cicli di lunghezza 1. In questo caso ha ordine 1.
b) è prodotto di 2 cicli di lunghezza 2. In questo caso ha ordine 2.
c) è prodotto di un ciclo di lunghezza 2 e 2 cicli di lunghezza 1. In questo caso ha ordine 2.
d) è prodotto di un ciclo di lunghezza 3 ed uno di lunghezza 1. In questo caso ha ordine 3.

Gli elementi di quel ker sono esattamente quelli di ordine un divisore di 3. Ergo, sono quelli di tipo a) o d).
2) Intende dire che il ker è un sottogruppo di $S_4$ (normale, aggiungerei io).
3) per il teorema di Lagrange: la cardinalità di un sottogruppo divide quella del gruppo.
4) si riferisce evidentemente al dominio: il ker è un sottogruppo di $S_4$, che ha cardinalità 24, e quindi la sua cardinalità deve essere un divisore di 24.
5) è giusto, è solo una strada diversa.

[vict85]

Condividerò immagini visto che un paio di queste formule e simboli non sono supportati dal sistema di commento:

Cosa non è supportato? Il forum supporta l'inserimento del codice \(\displaystyle \LaTeX \). Supporta le notazioni

Codice:

\(...\)

e

Codice:

\[\]

mentre la notazione con i dollari è riservata per l'altro tipo di inserimento, più intuitivo, e indirizzato per gli studenti delle scuole superiori. Puoi anche usare direttamente

Codice:

\begin{}\end{}

Nel caso specifico:

L'applicazione \(\phi\colon S_n\to S_n\) manda ogni permutazione \(\chi\) nel suo cubo \(\chi^3 = \chi\circ\chi\circ\chi\). Mostrare che \(\phi\) non è un omomorfismo di gruppi.
\begin{align*} \phi \colon S_n &\to S_n \\
\chi &\mapsto \chi^3 = \chi\circ\chi\circ\chi
\end{align*}

Lo potevi scrivere con questo codice:

Codice:

L'applicazione \(\phi\colon S_n\to S_n\) manda ogni permutazione \(\chi\) nel suo cubo \(\chi^3 = \chi\circ\chi\circ\chi\). Mostrare che \(\phi\) non è un omomorfismo di gruppi.
\begin{align*} \phi \colon S_n &\to S_n \\
\chi &\mapsto \chi^3 = \chi\circ\chi\circ\chi
\end{align*}

[milos144]

Scusate se mi intrometto, in poche parole non esiste un omomorfismo perché il $ker(ϕ) $ non é un sottogruppo normale di $S_4$
Dico bene hydro.
Grazie