ho un dubbio che riguarda i teoremi
ieri, parlando dell'insieme vuoto (link: https://www.matematicamente.it/f/viewtopic.php?t=21068), si è dimostrata la verità della seguente proposizione "per ogni elemento $x in emptyset$ vale la proprietà B" semplicemente osservando che è la falsa la premessa $x in emptyset$...allo stesso modo si è dimostrato che la proposizione "per ogni elemento $x in emptyset$ non vale la proprietà B" semplicemente osservando che è falsa la premessa $x in emptyset$
stamattina stavo facendo un esercizio dui numeri primi e poco dopo ne ho fatto uno sui numeri dispari (fortunatamente mi trovo) quando, sulla falsariga della dimostrazione della validità delle proposizioni di cui parlavo prima, mi è venuto in mente che, una proposizione del tipo "se $3$ è dispari allora $3$ è un numero primo" è vera perchè la premessa e la conseguenza sono entrambe vere, però...non si può passare logicamente dal fatto che $3$ è dispari al fatto che $3$ è primo, quindi (ho pensato io) questa proposizione non è un teorema eppure ne ho provato la verità
allo stesso modo ho dunque riflettuto sulle due proposizioni di ieri sull'insieme vuoto che ho scritto sopra: si è dimostrata la verità di quelle proposizioni semplicemente attraverso la logica degli enunciati, ma, per esempio, nella proposizione "per ogni elemento $x in emptyset$ vale la proprietà B", non si è dimostrato che dalla premessa $forall x in emptyset$ discende logicamente che $B mbox { vale per } x$...ho pensato (molto probabilmente sbaglio) che ciò non è stato possibile perchè la premessa è falsa, mentre in un teorema la premessa deve essere vera...
a questo punto mi sorgono un pò di dubbi
1) una proposizione del tipo $A rightarrow B$ quando è un teorema?
spiego meglio il senso della domanda: obiettivo del teorema è dimostrare che l'implicazione è vera in quanto dalla verità della premessa segue logicamente la verità della conseguenza, quindi, partendo dal fatto che $A$ ha valore di verità $mbox { VERO }$ bisogna provare che l'implicazione $rightarrow$ è vera mostrando che da $A$ segue logicamente che $B$ è $mbox { VERA }$...è questa la condizione che rende un teorema tale?
2) (con riferimento alla domanda 1) se la premessa $A$ è falsa si è ancora in presenza di un teorema?
3) di solito quando si dimostra un teorema ($A rightarrow B$) si assume vera la $A$ e si dimostra che da questo segue logicamente che è vera anche $B$ senza però sapere a priori che $B$ è vera; se, invece, uno avesse una proposizione $B$ che si sa essere vera ancor prima di dimostrare il teorema e mostra che questo valore di verità è logicamente dipendente dalla verità di $A$, si può ancora parlare di teorema?
4) (con riferimento alla domanda 2) se, invece, non si può provare che la verità di $B$ segue logicamente dalla verità di $A$, fermo restando che $B$ è vera, si è ancora in presenza di un teorema?
5) uno deve prendere per buono l'avere dimostrato che un teorema è vero o l'avere dimostrato che una proposizione è vera anche se essa non è un teorema?
rendo meglio il senso della domanda: prendiamo ad esempio la proposizione "per ogni elemento $x in emptyset$ vale la proprietà B": questa è vera ma la premesssa è falsa, quindi non è un teorema, inoltre non si è dimostrato che da $x in emptyset$ segue logicamente che $B mbox { vale per } x$...a questo punto questa proposizione la si assume vera da un punto di vista logico o da un punto di vista formale?
ma allora dovresti proporre una definizione di teorema. Io l'ho sempre pensato come "proposizione importante", più importante dei lemmi e delle proposizioni. Non gli ho mai dato un significato diverso. Ora:
), a dire la veità quando leggo le risposte che date nel forum sono queste che mi danno la sensazione di essere intelligenti