teorema o non teorema

[Gaal Dornick]

comunque tantissimo fa lo studio nelle mie risposte.. all'età tua non sarei stato mai in grado di sostenere questa discussione.. ciò mi fa pensare che studi seriamente: ti auguro di riuscire a studiare così bene anche all'università: è il farsi le domande che ti porta avanti!

[Chevtchenko]

Considerato tutto questo, credo che non si possa dire una cosa assoluta sulla definizione (o non-definizione) di teorema, forse è meglio affidarsi alla propria comodità di pensiero.

non voglio risprendere nessuno ma non credi che in questo modo rischiamo di andare a fare filosofia?

Nella mia ottica, chiedersi se "se 3 è dispari allora è primo" è un teorema è già fare filosofia.

Non (solo) filosofia, ma logica matematica. E' infatti compito di questa disciplina definire rigorosamente cosa si intende per ''teorema'', ''dimostrazione'', ecc.

[G.D.]

per Gaal Dornick...sì, intendevo $P_2$

mi fa piacere che la discussione prosegua e spero che qualcuno possa aggiungere ulteriori chiarificazioni alla questione del topic

[Martino]

a me sembrano più le domande di uno che non sta capendo niente (sai che divertimento se a settebre comincio l'università così )

Quando stavo per iniziare l'università a matematica (ora sto iniziando il quinto anno) io credevo di sapere se non tutto della materia, quasi. Inutile dire che mi sbagliavo totalmente.
Tu invece ti rendi conto che la conosci poco. Per questo farai molta strada secondo me. Fidati, al primo anno di matematica ci sono molti che credono di sapere tutto e alcuni si atteggiano addirittura da insegnanti.

Quanto alla questione del filone in questione ( ), mi rendo conto che potrebbe esserci una definizione di "teorema" precisa e rigorosa. Quando ne saprò di più riguardo a questo mi permetterò di dare valutazioni, ma per ora è meglio che mi limiti

Ciao ciao.

[TomSawyer]

Considerato tutto questo, credo che non si possa dire una cosa assoluta sulla definizione (o non-definizione) di teorema, forse è meglio affidarsi alla propria comodità di pensiero.

non voglio risprendere nessuno ma non credi che in questo modo rischiamo di andare a fare filosofia?

Nella mia ottica, chiedersi se "se 3 è dispari allora è primo" è un teorema è già fare filosofia.

Non (solo) filosofia, ma logica matematica. E' infatti compito di questa disciplina definire rigorosamente cosa si intende per ''teorema'', ''dimostrazione'', ecc.

Per quel che ne so io, un teorema è una proposizione che può essere dimostrata vera, partendo da certi assiomi, ed applicando regole consentite. La dimostrazione è il processo attraverso cui si arriva alla tesi.

Nelle logiche di primo ordine (che è quello che interessa qui), valgono i teoremi di completezza (ciò che è vero è dimostrabile) e di validità (ciò che è dimostrabile è vero); quindi nelle logiche di primo ordine, i concetti di enunciato vero ('vero' in ogni modello di quegli assiomi) e di teorema sono coincidenti.

[G.D.]

perdonatemi se ci torno sempre sopra ma dato che è da ciò che è cominciato tutto...la proposizione $A$: "se $x in emptyset$ allora per $x$ vale la proporietà $B$" è un enunciato vero (per quello che già si è detto nell'altro topic https://www.matematicamente.it/f/viewtopic.php?t=21068, e cioè perchè è sempre falsa la premessa); con riferimento al fatto che

Nelle logiche di primo ordine (che è quello che interessa qui), valgono i teoremi di completezza (ciò che è vero è dimostrabile) e di validità (ciò che è dimostrabile è vero); quindi nelle logiche di primo ordine, i concetti di enunciato vero ('vero' in ogni modello di quegli assiomi) e di teorema sono coincidenti.

domanda 1) la $A$ è vera in ogni modello degli assiomi (anche se non ho idea di quali questi siano)?
domanda 2) la proposizione $C$: "se $3$ è dispari allora è primo" è un teorema?
domanda 3) cosa intendi per "vero in ogni modello di degli assiomi"?
domanda 4) un enunciato semplicemente vero e un enunciato vero in ogni modello di assiomi sono la stessa cosa?
domanda 5) in generale, un enunciato vero, che non è però un teorema e che è vero solo perchè tale è reso dalle regole del calcolo proposizionale ma che in realtà non ha in sè alcun senso logico-deduttivo (ad esempio, l'enunciato "se io sono un topo allora gauss è un matematico" che è vero perchè è falsa la proposizione atomica che fa da antecedente - oltre, ovviamente, al fatto che è stravera la conseguenza - ma che in realtà non ha nessun senso logico-deduttivo dal momento che tra l'essere io un topo e l'essere gauss un matematico non c'è nessun legame), può essere usato come proposizione sulla scorta della quale condurre un ragionamento logicamente corretto col quale dimostrare qualche cosa (può essere insomma usato così come viene usato un assioma o un teorema)?

[TomSawyer]

Qui si va nella logica matematica; io ho solo descritto in termini generali come si può vedere un teorema. Quindi, se uno non ha in mente le definizioni rigorose di modelli, enunciati, strutture etc, diventa difficile parlarne.

Ho visto che usi la parola "enunciato" indiscriminatamente. Un enunciato è una formula ben formata senza variabili libere (cioè dove ogni variabile presente è sotto l'azione di un quantificatore); tu spesso intendi una "proposizione".

Per "vero in tutti i modelli" si intende una formula "valida", cioè una formula che non può essere falsa in qualche struttura che soddisfa gli ipotetici assiomi. Se si è dentro una teoria completa (così com'è il campo dei numeri reali, per esempio), un enunciato vero in una certa struttura sarà valido, dato che tutti i modelli del campo dei reali sono elementarmente equivalenti tra di loro.

Comunque, ripeto, per capire in maniera non ambigua questi concetti, è consigliabile studiarseli bene, in maniera più o meno completa, piuttosto di sapere qualche definizione sporadica. Non mi sembra che i tuoi dubbi iniziali siano difficili da sciogliere, quindi è bene non complicarsi la vita con altri dubbi su argomenti (più o meno) sconosciuti .

La proposizione "3 è primo" è un teorema (assieme alla sua dimostrazione usando la definizione di numero primo). "se 3 è dispari, allora 3 è primo" sottintende una regola generale che se $n \in NN$ è dispari, allora $n$ è primo, e non fa nessun appello alla definizione di numero primo. E' giusto domandarsi certe cose, ma secondo me ti complichi senza motivo la vita, a volte.

Tu puoi usare una proposizione $A\to B$, con $A$ falsa, solo che non sarai mai in grado di farlo concretamente, dato che l'ipotesi non è mai verificata. In ogni caso, è bene negli esempi evitare frasi del linguaggio comune che non possono essere formalizzate, perché si possono creare ambiguità.

[G.D.]

ok

hai ragione, bisogna prima studiare e per me ce ne vorrà di tempo ma i vostri chiarimenti sono stati lo stesso preziosi: nella mia testa ce un pò meno confusione di prima

grazie a tutti

ciao