$U(A[x])=U(A)$

[matths87]

Sia A un dominio fattoriale. Dimostrare che $U(A)=U(A[x])$.

E' evidente che $U(A)$ è contenuto in $U(A[x])$.
Dimostriamo ora l'altra inclusione. Sia $f(x)\inA[x]$: se ha grado 0 questo polinomio appartiene ad $A$ (è una costante non nulla). Se ha grado strettamente maggiore di 0, $f(x)$ non è invertibile: se infatti per assurdo esistesse $g(x)\inA[x]$ inverso di $f(x)$ allora avremmo prodotti di elementi di $A$ non nulli che danno come risultato 0, escluso.
Pertanto gli unici elementi invertibili di $A[x]$ sono tutti e soli gli invertibili di $A$.

Questa proposizione non vale se $A$ non è un dominio (è facile trovare un controesempio in $ZZ_4[x]$.

Spero che questa dimostrazione sia corretta, attendo il vostro responso

[Martino]

se infatti per assurdo esistesse $g(x)\inA[x]$ inverso di $f(x)$ allora avremmo prodotti di elementi di $A$ non nulli che danno come risultato 0, escluso.

Perché zero e non uno ?

[matths87]

Adesso ti spiego il ragionamento per esteso.

per assurdo, sia $f(x)g(x)=1$. Ora $f(x)g(x)$ è nella forma $a_0+...+a_n*a^n$ che è uguale a 1 se e solo se $a_0=1$ e $a_i=0$ per $i$ che va da 1 a n. Ora i vari $a_i$ sono prodotti di coefficienti di $f(x)$ e $g(x)$ non nulli, quindi per ipotesi non possono essere uguali a 0.
Chiaramente, essendo $A$ dominio, $n$ è la somma dei gradi di $f(x)$ e $g(x)$.

[Martino]

Adesso ti spiego il ragionamento per esteso.

per assurdo, sia $f(x)g(x)=1$. Ora $f(x)g(x)$ è nella forma $a_0+...+a_n*a^n$ che è uguale a 1 se e solo se $a_0=1$ e $a_i=0$ per $i$ che va da 1 a n. Ora i vari $a_i$ sono prodotti di coefficienti di $f(x)$ e $g(x)$ non nulli, quindi per ipotesi non possono essere uguali a 0.
Chiaramente, essendo $A$ dominio, $n$ è la somma dei gradi di $f(x)$ e $g(x)$.

Quasi giusto: è vero che $a_n$ non può essere zero (essendo il prodotto dei coefficienti dei termini di grado massimo di f e g), e questo ti basta per concludere perché è tale coefficiente che decide il grado del polinomio. Invece non è vero che tutti gli $a_i$ sono non nulli (cosa che invece affermi nella parte che ho sottolineato): per esempio

$(x^2+x+1)(x^2-x-1) = x^4-(x+1)^2 = x^4-x^2-2x-1$

Come vedi nel polinomio prodotto il termine $a_3$ (coefficiente di $x^3$) è zero.

Questo perché i vari $a_i$ sono somme di prodotti di coefficienti di f e g (e non solo prodotti).

PS: nel fare un esame ti conviene comunque esporre tutto il ragionamento anziché dire semplicemente "se infatti per assurdo esistesse $g(x) \in A[X]$ inverso di $f(x)$ allora avremmo prodotti di elementi di $A$ non nulli che danno come risultato 0, escluso".

[zorn]

Certo, basta invocare la regola di addizione dei gradi.

Unica pignoleria è che non è proprio un'uguaglianza ma un'identificazione fatta immergendo $A$ in $A[x]$. Poco cambia il succo.

[matths87]

Grazie a tutti per l'aiuto

@Zorn
la tua osservazione è sicuramente corretta: tuttavia credo che anche il mio ragionamento sia accettabile. In fondo, tutti scriviamo che $ZZ$ è sottoinsieme di $QQ$, anche se non è del tutto vero.

[zorn]

Certo, si trascurano sempre in matematica queste sottigliezze, pure a ragione, però per chi ci si avvicina è meglio lo tenga ben presente...