Discutere la riducibilità di $f(x)$

[matths87]

Ecco l'esercizio di Algebra del giorno

Discutere la riducibilità di $f(x)=6x^5-10x^4+10x^3+4x-8$ in $ZZ_5[x]$, $ZZ[x]$ e $QQ[x]$.
Chiaramente in $ZZ[x]$ vale che $f(x)=2*f_1(x)$, con $f_1(x)=2x^5+5x^4+5x^3+2x-4$.

Osserviamo che $f(x)$ non è primitivo in $ZZ[x]$, quindi $f(x)$ non è irriducibile su $ZZ$. Consideriamo ora la 5-proiezione: "proiettando" $f(x)$ otteniamo $x^5-x+2$, irriducibile su $ZZ_5$ poichè polinomio di Artin.

Cosa si può dire per $QQ[x]$?

[matths87]

Forse ci sono arrivato da solo.

Osserviamo che $f_1(x)$ è primitivo, quindi è irriducibile in $ZZ[x]$ se e solo se è irriducibile in $QQ[x]$. Ora $f_1(x)$ è irriducibile su $ZZ_5$, poichè lo è $f(x)$. Quindi $f_1(x)$ è irriducibile su $ZZ$ e, per quanto detto sopra, su $QQ$. Essendo $f_1(x)$ associato a $f(x)$ in $QQ[x]$, abbiamo che $f(x)$ è irriducibile su $QQ$.

Ditemi che il mio ragionamento è corretto, ormai mancano pochi giorni all'esame

[zorn]

Credo sia molto più semplice la questione della riducibilità in $QQ[x]$

Il polinomio ha grado dispari, quindi ha almeno una radice $a in RR$, allora in $RR$ si decompone come $f=(x-a)g(x)$. Perché sia riducibile in $QQ$ deve essere $a$ razionale, se ha tutte radici irrazionali non può decomporsi in $QQ[x]$. Ovviamente per un polinomio di grado pari il ragionamento non vale.

Ora tutte le possibili radici razionali di $f$ sono del tipo $m/n$ con $m|6$ e $n|8$.
Quindi, esse sono: $+-6,+-3+,-2,+-1,+-3/2,+-1/2,+-4/3,+-3/4,+-1/4,+-3/8,+-1/8$

Beh, non ti resta che fare un pò di conti...

[matths87]

Beh, non c'è dubbio, la tua dimostrazione è senza dubbio più immediata della mia (io ho dovuto appellarmi a vari teoremi per arrivare alla tua stessa conclusione).

Comunque l'importante è aver risolto l'esercizio

Grazie per l'aiuto

[matths87]

Aggiungo a questo topic un'ulteriore domanda.

Discutere in $ZZ_5[x]$ la riducibilità di $h(x)=x^4-x^2+1$.
Si vede immediatamente che $h(x)$ non ha radici su $ZZ_5$. Pertanto, se esiste, una fattorizzazione di $h(x)$ è del tipo $(x^2+ax+c)(x^2+bx+d)$. Sviluppando e applicando il principio di identità dei polinomi, otteniamo che $h(x)=(x^2+2x-1)(x^2-2x-1)$.

Il mio quesito è il seguente: esiste una maniera più veloce per svolgere questa fattorizzazione?

[Martino]

esiste una maniera più veloce per svolgere questa fattorizzazione?

Puoi usare i prodotti notevoli scrivendo

$x^4-x^2+1 = (x^2-2x^2+1)-4x^2 = (x^2-1)^2-4x^2 = (x^2-1-2x)(x^2-1+2x)$.

Ma questa soluzione l'ho ricavata a posteriori conoscendola già (dal tuo conto), quindi direi che la tua soluzione è senz'altro la migliore in questo caso.

[matths87]

Ah, ok, ho postato questa domanda perchè la mia professoressa, correggendo l'esercizio a lezione, ha detto "si vede immediatamente che...".

Forse lei lo vede immediatamente, ma io ho bisogno di fare i calcoli per arrivare al risultato