da Martino » 24/01/2024, 19:24
Avrebbe più senso chiedere di determinare l'insieme $X$ dei numeri naturali $n in NN$ che hanno la seguente proprietà: se $F$ è una qualsiasi estensione di $QQ$ di grado $n$, il gruppo degli automorfismi di $F$ è ciclico.
Per fare questo è utile ricordare che, se $M//K$ è estensione di Galois e $K le L le M$ è un campo intermedio (con $L//K$ non necessariamente Galois), allora il gruppo $Aut(L//K)$ (cioè il gruppo degli automorfismi di $L$ che fissano ogni elemento di $K$) è isomorfo al gruppo quoziente $N_G(H)//H$ dove $G$ è il gruppo di Galois di $M//K$, $H$ è il sottogruppo di $G$ corrispondente a $L$, cioè $H$ è il gruppo di Galois di $M//L$, e $N_G(H)$ indica il normalizzante di $H$ in $G$.
Mi verrebbe da dire che $X$ coincide con l'insieme dei numeri naturali $n$ tali che ogni gruppo di ordine $n$ è ciclico, che (come è noto) coincide con l'insieme degli $n$ tali che $n$ è coprimo con $phi(n)$ (dove $phi$ è la funzione di Eulero). Ma non ho scritto una dimostrazione, è solo una congettura.
Le persone che le persone che le persone amano amano amano.