Automorfismi di un campo

[Martino]

Sì adesso ha più senso. Sei comunque troppo sintetico, io aggiungerei "perché $1$ e $beta$ sono linearmente indipendenti su $QQ$". Inoltre va scritto che $a,b,a',b'$ li prendi in $QQ$.

[francicko]

Scusa perché va specificato che $1,beta$ sono linearmente indipendenti su $Q$?
Se ho supposto $beta$non appartenente a $Q$?
Se lo fossero $beta$ dovrebbe appartenere a $Q$.

Ed $a, a', b, b'$ era chiaro che sono elementi appartenenti a $Q$

[Martino]

Sì ma è chiaro solo per chi ha letto questo argomento dall'inizio. Per questo dico che è importante scrivere una dimostrazione dall'inizio alla fine e non "spezzettata", perché se no è difficile recuperare quello che si sta dicendo.

[francicko]

Per $n=3$ con $P(x)$ irriducibile ed $Q(alpha)=Q(beta)=Q(gamma)$ avrò esattamente $3$ automorfismi, in generale con $P(x)$ irriducibile di grado $n$ ed $x_1,x_2,...,x_n$ le sue radici distinte ed $Q(x_1)=Q(x_2)=...=Q(x_n)$ avrò esattamente $n$ automorfismi, con $[E:Q]=n$. Se comunque scelti $x_i, x_j$ appartenenti all'insieme delle soluzioni $(x_1,x_2,...,x_n)$ si ha che $x_i$ non appartiene ad $Q(x_j)$ allora il gruppo di automorfismi avrà ordine $n!$ è sarà $[E:Q]=n!$ giusto?

[Martino]

Se comunque scelti $x_i, x_j$ appartenenti all'insieme delle soluzioni $(x_1,x_2,...,x_n)$ si ha che $x_i$ non appartiene ad $Q(x_j)$ allora il gruppo di automorfismi avrà ordine $n!$ è sarà $[E:Q]=n!$ giusto?

No questo è falso, penso che il controesempio più piccolo sia dato da un polinomio irriducibile di grado $4$ con gruppo di Galois $A_4$ (per esempio $f(X)=X^4+8X+12$). In questo caso gli stabilizzatori delle radici sono $4$, due a due distinti, e quindi i corrispondenti campi $QQ(x_i)$ (tramite le corrispondenze di Galois) sono anch'essi due a due distinti e hanno tutti grado $4$ su $QQ$, quindi non può succedere che $x_i \in QQ(x_j)$ se $i ne j$. Tuttavia $|E:QQ|=|A_4|=12 ne 4!$ $=24$.

[francicko]

Grazie per le risposte!
Nel caso di un polinomio irriducibile in $Q$ di grado $3$ avente gruppo di galois $S_3$, quindi composto da tutte le possibili permutazioni tra le radici ${x_1,x_2,x_3}$, non dovrebbe risultare $E=Q(x_1,x_2,x_3)=Q(x_1,x_2)=Q(x_2,x_3)=Q(x_3,x_1)$
Mi sbaglio?

[Martino]

Mi sbaglio?

No non ti sbagli.

[francicko]

Ok!
Nel caso di un polinomio quadratico di $4°$ come ad esempio $x^4-x^2 +1$ il gruppo di galois non può avere ordine che $4$ oppure $8$, mi sbaglio?

[Martino]

Non ti sbagli, ma non capisco bene che senso abbia chiedere conferme su frasi isolate senza particolare interesse per quello che conta davvero, cioè le dimostrazioni.

[hydro]

Ok!
Nel caso di un polinomio quadratico di $4°$ come ad esempio $x^4-x^2 +1$ il gruppo di galois non può avere ordine che $4$ oppure $8$, mi sbaglio?

Che poi oltretutto così formulato non è neanche vero, dipende dal campo di base.