Automorfismi di un campo

[francicko]

Sia $Q$ campo dei razionali, $Q(alpha)$ un estensione di campo, sia $[Q(alpha):Q]=n$, se $n$ è primo il gruppo di automorfismi risulterà ovviamente ciclico, in quali altri casi potra risultare ciclico?

[Martino]

In molti altri casi, cosa intendi?

[francicko]

Mi interesserebbe un esempio in cui il gruppo di automorfismi è ciclico, essendo $n$ non primo.

[hydro]

Mi interesserebbe un esempio in cui il gruppo di automorfismi è ciclico, essendo $n$ non primo.

$x^4+4x^2+2$.

[Martino]

Avrebbe più senso chiedere di determinare l'insieme $X$ dei numeri naturali $n in NN$ che hanno la seguente proprietà: se $F$ è una qualsiasi estensione di $QQ$ di grado $n$, il gruppo degli automorfismi di $F$ è ciclico.

Per fare questo è utile ricordare che, se $M//K$ è estensione di Galois e $K le L le M$ è un campo intermedio (con $L//K$ non necessariamente Galois), allora il gruppo $Aut(L//K)$ (cioè il gruppo degli automorfismi di $L$ che fissano ogni elemento di $K$) è isomorfo al gruppo quoziente $N_G(H)//H$ dove $G$ è il gruppo di Galois di $M//K$, $H$ è il sottogruppo di $G$ corrispondente a $L$, cioè $H$ è il gruppo di Galois di $M//L$, e $N_G(H)$ indica il normalizzante di $H$ in $G$.

Mi verrebbe da dire che $X$ coincide con l'insieme dei numeri naturali $n$ tali che ogni gruppo di ordine $n$ è ciclico, che (come è noto) coincide con l'insieme degli $n$ tali che $n$ è coprimo con $phi(n)$ (dove $phi$ è la funzione di Eulero). Ma non ho scritto una dimostrazione, è solo una congettura.

[hydro]

Mi verrebbe da dire che $X$ coincide con l'insieme dei numeri naturali $n$ tali che ogni gruppo di ordine $n$ è ciclico, che (come è noto) coincide con l'insieme degli $n$ tali che $n$ è coprimo con $phi(n)$ (dove $phi$ è la funzione di Eulero). Ma non ho scritto una dimostrazione, è solo una congettura.

Certamente se i gruppi di ordine $n$ sono tutti ciclici allora $n\in X$, infatti se prendi \(F/\mathbb Q\) di grado $n$ dove $n$ ha quella proprietà e prendi $G$ il gruppo degli automorfismi, allora $|G|$ divide $n$ perchè $[F:F^G]=|G|$. Ma chiaramente se ogni gruppo di ordine $n$ è ciclico allora ogni gruppo di ordine un divisore di $n$ è ciclico. Il viceversa sembra piuttosto complicato.