da vl4d » 22/09/2007, 16:15
Si consideri una generica $sigma$ come composizione
di trasposizioni. Se le trasposizioni sono disgiunte,
ovvero tutti i cicli di $sigma$ sono dei $2$-cicli,
allora le trasp. commutano, allora $sigma$ e' una involuzione.
Se le trasposizioni non sono tutte disgiunte, ovvero ci sono cicli
con cardinalita' superiore a $2$, allora le trasposizioni non disgiunte
non commutano, segue che $sigma$ non puo' essere una involuzione.
Dunque e' sufficiente contare il numero di permutazioni esprimibili
come trasposizioni disgiunte, ovvero il numero di permutazioni
composte solo da $2$-cicli.
Il numero di $2$-cicli puo' variare da $0$, quando abbiamo solo
punti fissi, a $[n/2]$, quando abbiamo al piu' un punto fisso.
Con $i$ $2$-cicli, permutiamo $2i$ elementi di ${1,\cdots, n}$
in $n_{2i}$ modi. A questo punto, causa commutativita',
non ci interessa ne l'ordine all'interno dei $2$-cicli,
ne l'ordine dei $2$-cicli stessi. Dunque
dividamo per il fattore $2^i\cdot i!$ e abbiamo la sommatoria sopra.
Go to the roots, of these calculations! Group the operations.
Classify them according to their complexities rather than their appearances!
This, I believe, is the mission of future mathematicians. This is the road on which I am embarking in this work.
Evariste Galois