Sequenza illimitata?

[zorn]

Non ho letto attentamente la dimostrazione di Levacci (magari provo a farla) è certo che è davvero geniale come problema complimenti a chi lo ha inventato!

[zorn]

Ok l'ho letta meglio... nemmeno a me l'ultima parte non è chiara, perché non provi a scrivere tutti i passaggi?

[Levacci]

Chiedo perdono per l'ermetismo, vediamo se riesco a rimediare.

La formula (1) era $n_i<=9sum_(j=0)^(t-1) 10^j+9^t$. Cerco un indice per il quale risulti $9sum_(j=0)^(t-1) 10^j+9^t<=sum_(j=0)^t 10^j$ (il numero che avevo chiamato $b$) ovvero $9^t<=sum_(j=0)^t 10^j - 9sum_(j=0)^(t-1) 10^j$. Si verifica facilmente che RHS è uguale a $sum_(j=0)^(t-1) 10^j -1$. Il resto della dimostrazione sta poco sopra.

Mi unisco a zorn nel fare i complimenti a tom per il problema.

[zorn]

Ok, mi permetto di fornire una mia versione.

Nelle tue ipotesi e posizioni, Levacci:

$n_(j-1)<=10^t-1<n_j<=10^t-1+9^t$ (2)

inoltre $b=(10^(t+1)-1)/9$ (minimo numero di t cifre privo di zeri nello sviluppo decimale = $11...1$ t volte)

Ora, se per assurdo $AA j in NN, n_j>=b$ ottengo, a maggior ragione per (2):

$10^t-1+9^t>=(10^(t+1)-1)/9, AA t in NN$

da cui:

$1>=lim_(t to +oo) (10^(t+1)-1)/(9(10^t-1+9^t)) = +oo$ come si deduce dagli ordini di infinito, un chiaro assurdo!

[zorn]

Piaciuta la mia versione? Con un po' di aiuto ci sn arrivato

[zorn]

Ulteriore osservazione:

L'argomento del limite dà pure una stima superiore del numero di cifre possibili che la successione può raggiungere. Pertanto le successioni sono pure equilimitate.

Infatti si deduce dal ragionamento visto che un numero della successione non può avere più di $t$ cifre se $(10^(t+1)-1)/(9*(10^t-1+9^t))>1$. Ma ciò accade $AA t>=21$, quindi un elemento della successione può avere fino a 20 cifre.

Allora le successioni sono tutte limitate dalla costante $10^21$.

[TomSawyer]

Non ho capito perché dici "se per assurdo $\forall j\in NN, n_j \ge b$ .

[zorn]

TomSawyer per questo ho semplicemente seguito le orme della dimostrazione di Levacci:

Si tratta di far vedere che esiste un indice i per il quale si ottiene $n_i≤b$, in questo modo $ni$ è un numero di t+1 cifre che contiene almeno uno zero e quindi interrompe la sequenza.
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L'ho dimostrato per assurdo. Ti pare?

[TomSawyer]

Si', ma non puoi partire da quell'assurdo, ma "per ogni $j$ maggiore di quell'indice $k$ tale che $n_k$ sia il massimo elemento della sequenza di $t$ cifre..

ps: l'esercizio non e' mio, ovviamente; e la soluzione di cui dispongo e' concettualmente simile a quella di Levacci.

[zorn]

Beh, ho pensato di far vedere (con tutte le critiche del caso degli intuizionisti) che il non esistere di un indice j porta a una contraddizione. Se tu invece sei stato costruttivo meglio. A ogni modo stanno venendo dubbi pure a me sulla dimostrazione.