Gruppi finiti

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Un esercizio del tutto elementare:

Siano $G$ un gruppo finito e $S,T\sube G$. Dimostrare che se $|S|+|T|>|G|$, allora $G=ST$.

Ricordo che $ST={st| s\in S\wedge t\in T}$.

[one.side.strip]

Hmmm... ma scusa in questo caso uno dei due è necessariamente l'intero gruppo per Lagrange le l'altro necessariamente contiene l'identità essendo un sottogruppo...
Mi viene in mente che potrebbero non essere sottogruppi... Ma allora è falso...
non capisco

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$S$ e $T$ sono sottinsiemi qualunque di $G$, dunque non sono necessariamente sottogruppi, per cui non puoi applicare Lagrange...

Comunque il teorema è vero, ho la dimostrazione

[TomSawyer]

Se $G$ è abeliano è abbastanza immediato.. Per $G$ non abeliano, mi sa che serve qualcosa come il principio di inclusione/esclusione.

[ficus2002]

Siano $G$ un gruppo finito e $S,T\sube G$. Dimostrare che se $|S|+|T|>|G|$, allora $G=ST$.

Sia $g\in G$. Considero $A:={s^(-1)g:s\in S}$. Allora $|A|=|S|$. Così $|A|+|T|>|G|$. Allora $A\cap T\ne \emptyset$. Così esiste $t\in T\cap A$ e $g=st\in ST$ per qualche $s\in S$.

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Ok. ...anche se naturalmente non c'era bisogno del mio avallo per una dimostrazione di una riga Mi limito a osservare che il teorema fallisce se $|S|+|T|=|G|$, quindi ancora una volta il bound e' quello giusto.