Intanto si tratta di scegliere la convenzione che l'insieme dei numeri naturali $NN$ comprenda o meno lo 0... Io di solito non lo includo.
Il principio di induzione è il seguente:
Principio di induzione
Sia $P(n)$ una proposizione significativa per $n in NN$. Se:
1) $P(1)$ è vera.
2) $P(n)=>P(n+1)$.
Allora $P(n)$ è vera per ogni $n in NN$
In questo caso $P(n)={n<2^n}$, $forall n in NN$.
Soluzione:
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
1) $P(1)$ è vera: infatti $1<2^1=2$.
2) Supponiamo che sia vera $P(n)$ per un fissato $n in NN$.
Allora dobbiamo mostrare che sia vera $P(n+1)$.
Per ipotesi (ipotesi induttiva): $2^n>n$.
Ora usiamo l'ipotesi induttiva: $2^(n+1)=2^n*2>$(ip. indutt.)$2n>n+1$.
Da ciò si ottiene quanto si voleva.
Consiglio: prova a fare qualche altro esercizio e ti verrà tutto meccanicamente.
P.S.: Oggi (e non solo oggi) sono un po' groggy, per cui se c'è qualcosa di sbagliato correggete pure...