Gruppo radicale amenabile

[3m0o]

Sia \(G\) un gruppo. Dimostra che esiste un sottogruppo normale massimale che è amenabile e che è unico. Chiamiamo questo sottogruppo \( \operatorname{Ramen}(G) \) il radicale amenabile di \(G\). Dimostra che il radicale amenabile di \(G/\operatorname{Ramen}(G) \) è banale.

Riesco a dimostrare l'unicità ma non l'esistenza del gruppo radicale. Inoltre non mi è molto chiaro come possa dimostrare che \( \operatorname{Ramen}\left( G/\operatorname{Ramen}(G) \right) \) è banale.

Per l'esistenza:
Supponiamo che \(G\) sia amenabile, allora \(G \) stesso è un sotto gruppo normale di se stesso amenabile ed è chiaramente massimale e unico. Wlog \(G\) non amenabile. Ma in tal caso non capisco come dimostrare l'esistenza.

Per l'unicità:
Supponiamo che \(A,B \) siano due sottogruppi normali massimali amenabili di \(G\). Abbiamo che \(AB \) contiene \(A\) e \(B \) ed è un sottogruppo normale poiché per ogni \(g \in G \) abbiamo che \(g ab g^{-1} = g a g^{-1} g b g^{-1} \in AB \). Chiaramente \( AB \) è amenabile poiché \[ 1 \rightarrow A \rightarrow AB \rightarrow AB/A \rightarrow 1 \]
e \( AB/A \cong B/(A \cap B) \) e \( B \) amenabile quindi anche il quoziente \(B/(A \cap B) \) lo è.

[Martino]

Aiuterebbe ricordarci la definizione di gruppo amenabile.

[3m0o]

Aiuterebbe ricordarci la definizione di gruppo amenabile.

Sia \( M(X) = \{ \text{ medie su } X \} \), dove una media \( \mu \in M(X) \) non è nient'altro che una misura finitamente additiva \( \mu : P(X) \to [0,1] \). Data un azione \( G \curvearrowright X \) essa è detta amenabile se esiste \( \mu \in M(X) \) fissata da \(G\), i.e. \(g \mu = \mu \) per ogni \(g \in G \), dove l'azione di \(G\) su \( M(X)\) è indotta dal azione di \(G\) su \(X\), i.e. \( g \mu (A) = \mu(g^{-1} A) \) per ogni \( A \in P(X) \).

Un gruppo è detto amenabile se l'azione \(G \curvearrowright G \) (moltiplicazione a sinistra) è amenabile.

[Martino]

Hai provato col lemma di Zorn?

Oltre alla definizione, sarebbe utile includere le proprietà base dei gruppi amenabili, tipo che i sottogruppi di amenabili sono amenabili eccetera. Oppure darei una referenza. Tu l'argomento lo stai studiando adesso ma chi ti legge potrebbe non avere fresche tutte queste cose.

[3m0o]

Hai provato col lemma di Zorn?

Oltre alla definizione, sarebbe utile includere le proprietà base dei gruppi amenabili, tipo che i sottogruppi di amenabili sono amenabili eccetera. Oppure darei una referenza. Tu l'argomento lo stai studiando adesso ma chi ti legge potrebbe non avere fresche tutte queste cose.

Non ho provato con il lemma di Zorn.

Comunque hai ragione!
Proprietà di base che conosco:
1) Se \( G \curvearrowright X \) possiede orbite finite, allora l'azione è amenabile.
2) Tutti i gruppi finiti sono amenabili
3) Se \(G \) è amenabile e \(H< G \) allora \(H\) amenabile
4) Se \(Q\) è un quoziente di un gruppo amenabile \(G\) allora \(Q\) è amenabile
5) Se \( N \lhd G \) è normale e \(Q=G/N \). Alora \( N \) e \(Q\) sono amenabili se e solo se \(G\) amenabile.
6) Il prodotto finito di gruppi amenabili è amenabile
7) Tutti i gruppi abeliani sono amenabili
8) Un gruppi è amenabile se e solo se tutti i sottogruppi finitamente generati sono amenabili.
9) Il prodotto semidiretto tra due gruppi amenabili è amenabile.

[Martino]

Un gruppo è amenabile se e solo se tutti i sottogruppi finitamente generati sono amenabili.

Allora direi che questo fa al caso tuo. Se prendi una catena infinita di gruppi amenabili, per mostrare che la sua unione è amenabile puoi ridurti ai sottogruppi finitamente generati, che sono contenuti ciascuno in qualche sottogruppo della catena. Quindi concludi per il lemma di Zorn.

PS. Su che libro stai studiando per curiosità?

[3m0o]

Un gruppo è amenabile se e solo se tutti i sottogruppi finitamente generati sono amenabili.

Allora direi che questo fa al caso tuo. Se prendi una catena infinita di gruppi amenabili, per mostrare che la sua unione è amenabile puoi ridurti ai sottogruppi finitamente generati, che sono contenuti ciascuno in qualche sottogruppo della catena. Quindi concludi per il lemma di Zorn.

PS. Su che libro stai studiando per curiosità?

Scusami ma non vedo troppo quello che dici. Un gruppo normale \(N < G \) è massimale se non esiste nessun altro sottogruppo normale \( N < K < G \), equivalentemente se e solo se \(G/N \) è un gruppo semplice. Il punto è che come faccio a dimostrare che esiste un tale sottogruppo che è amenabile?

ps: sulle note che ha scritto il prof.

Edit: Supponiamo che ho tanti sottogruppi normali massimali, come faccio a dimostrare che almeno uno di questo è amenabile, i.e. che esiste un sottogruppo normale massimale amenabile. In particolare non capisco come mai puoi prendere una catena infinita di sottogruppi amenabili, chi mi dice che esiste?

[Martino]

Per il lemma di Zorn, se ogni catena di sottogruppi normali amenabili ha un maggiorante (un insieme che li contiene tutti) che è un sottogruppo normale e amenabile, allora G ha sottogruppi normali amenabili e massimali con queste proprietà. Quindi prendi una catena e mostri che ha un maggiorante. Se non esistono catene tanto meglio: non c'è nessun lavoro da fare in questo caso.

Ovviamente devi anche mostrare che $G$ ha sottogruppi normali amenabili, puoi prendere ${1}$.

Occhio, tu vuoi sottogruppi normali amenabili massimali, NON sottogruppi normali massimali che sono anche amenabili. C'è una bella differenza. Se $N$ è il tuo normale amenabile massimale, $G//N$ non è necessariamente un gruppo semplice.

[3m0o]

Ah ecco cosa non capivo!

Occhio, tu vuoi sottogruppi normali amenabili massimali, NON sottogruppi normali massimali che sono anche amenabili. C'è una bella differenza. Se $ N $ è il tuo normale amenabile massimale, $ G//N $ non è necessariamente un gruppo semplice.

Ora è chiaro! Grazie