Domanda sui campi

[francicko]

Sia $n$ il grado di un estensione di campo, allora il numero di automorfismi che lasciano fisso il campo base è $n$, viceversa se il numero degli automorfismi di un estensione di campo, che lasciano fisso il campo base, è $n$ allora il grado dell'estensione è $n$, come si può iniziare una dimostrazione di questo risultato?

[Martino]

Ma è tutto falso, per esempio \( \displaystyle \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}) \) ha grado $3$ su $QQ$ ma ha un unico automorfismo (l'identità).

[francicko]

Hai ragione, perché non contiene le altre radici del polinomio minimo, di $root(3)(2)$, se le contenesse sarebbe vero, il numero degli automorfismi sarebbe $n=3$ giusto?

[francicko]

Sotto quali condizioni l'enunciato, di cui sopra, potrebbe diventare vero?

[Martino]

se le contenesse sarebbe vero, il numero degli automorfismi sarebbe $n=3$ giusto?

Ma dire questo è un po' come dire che se $1$ fosse $2$ allora $2$ sarebbe $3$ (che è vero, tra l'altro, perché se $1=2$ allora $2=1+1=2+1=3$).

Ci sono molte inesattezze in quello che dici. Primo, nel caso non separabile succedono cose strane, quindi è ragionevole che tu debba supporre almeno che l'estensione sia separabile. Secondo, tu dici "se le contenesse sarebbe vero", quello che vuoi dire è che se un'estensione contiene tutte le radici di $X^3-2$ allora succede quello che hai detto, ma questo è falso, primo perché non basta che le contenga, deve (per esempio) essere generato da esse, o comunque dev'essere generato dalle radici di un dato polinomio (che potrebbe anche essere, che so, $(X^3-2)(X^2+1)$); secondo, se prendi il campo generato dalle radici di $X^3-2$ allora il suo grado sul campo base non è uguale a $3$, dipende dal campo base. Se il campo base è $QQ$ allora il grado è $6$ (non $3$).

Poi c'è sempre la solita questione: abbiamo già parlato di queste cose innumerevoli volte, non capisco perché ogni tanto fai un reset e dimentichi tutto. Vedi qui per esempio.

[Martino]

Purtroppo c'è un fatto doloroso ma vero, che è il seguente: nella stragrande maggioranza dei casi, per poter scrivere un enunciato matematico vero (con un certo minimo di complessità) bisogna studiare matematica seriamente per almeno un anno (8 ore al giorno, 5 giorni a settimana, come minimo, per un intero anno). E quando dico studiare intendo studiare veramente, possibilmente con qualcuno che ti segue, facendo esercizi, eccetera. Se non l'hai mai fatto, ti consiglio di comprare un buon libro che include la teoria di Galois. Ti suggerisco caldamente Basic Algebra I di Jacobson. Fossi in te, comprerei il libro e me lo studierei da pagina 1 fino al teorema fondamentale della teoria di Galois. Riga per riga, regolarmente, facendo tutti gli esercizi. Te lo dico sinceramente: non puoi studiare cose avanzate se ti mancano le basi.

[Martino]

Sotto quali condizioni l'enunciato, di cui sopra, potrebbe diventare vero?

Sia $L//K$ un'estensione di campi normale e separabile.

Normale significa che per ogni $a in L$, il polinomio minimo di $a$ su $K$ si fattorizza in fattori di grado $1$ in $L[X]$. Separabile significa che per ogni $a in L$, il polinomio minimo di $a$ su $K$ non ha radici multiple.

Dicevo, sia $L//K$ un'estensione di campi normale e separabile. Allora il numero di automorfismi di $L$ che fissano ogni elemento di $K$ è uguale al grado $|L:K|=dim_K(L)$.

Questo è un risultato classico, come dicevo ti consiglio Jacobson, Basic Algebra I, il risultato in oggetto (una sua riformulazione) è il teorema 4.4 a pagina 227 (prendendo come $eta$ l'identità).

Non ti scrivo la dimostrazione qui primo perché è una dimostrazione un po' tecnica, e secondo perché non so quanto ti risulterebbe utile vedere ripetute qui cose che puoi facilmente trovare nei libri.

[francicko]

Prendiamo come campo $Q$, campo dei razionali, se $p(x) $ è un polinomio irriducibile, di grado $n$, che ha $n $ radici distinte, sia il suo campo di spezzamento $Q(x_1,x_2,...,x_n)=Q(x_1)$ sia $phi$ un automorfismo di tale campo, si avrà $phi(x_i)=x_j$ cioè porterà una radice in un altra radice, gli unici automorfismi distinti non dovrebbero essere $phi_1:x_1->x_1$, $phi_2 : x_1->x_2$ $phi_3:x_1->x_3$ $... $ $phi_n: x_1->x_n$ quindi in numero di $n$?

[Martino]

Sì questo è giusto, è un caso particolare del teorema che ti ho scritto sopra.

[francicko]

Mi chiedevo anche , il gruppo di Galois in questo caso è composto da permutazioni circolari?
Cioè , quello che voglio dire è, le radici appartengono tutte ad una stessa orbita?