Detto $L=ZZ_(p)(X)$ il campo dei quozienti di $ZZ_(p)[X]$ e $K = ZZ_(p)(X^p)$ si consideri il polinomio $f = Y^p − X^p inK[Y]$. Mostrare che $f$ è irriducibile in $K[Y]$, ma che ha radici multiple in $L$.
Non mi sono chiare alcune cose di questo esercizio:
1) Intanto quando considero il polinomio $Y^p − X^p$ in $L$ devo considerare $Y$ come elemento di $ZZ_p$? O sennò come dovrei interpretare $Y$ in $L$?
2) Non ho capito che cosa intende con $K = ZZ_(p)(X^p)$, c'è sarebbero i polinomi di $L$ di grado maggiore o uguale di $p$? Il fatto che sia $X^p$ e non $X$ non so cosa vuol significare.
Se qualcuno riesce a chiarirmi questi dubbi così da poter provare a fare questo esercizio, grazie.