Omomorfismo di anelli

[Desirio]

Sia $I$ un ideale di $Q[x]$ dove $I = (x^{2} - x + 2)$.
Voglio mostrare che $\phi: \frac{Q[x]}{I} \rightarrow M$ è un omomorfismo di anelli, dove M è un matrice. E per ogni $(ax + b) + I$ viene associata la matrice M con $m_{11} = b, m_{12} = a, m_{21} = -2a, m_{22} = a + b$.

Per mostrare che $\phi$ è un omomorfismo devo mostrare che l'unità viene mappata nell'unità (ed è vero), che $\phi(a + b) = \phi(a) + \phi(b), \forall a,b \in \frac{Q[x]}{I}$ ed è vero.

Per quanto riguarda il prodotto invece .... $\phi( ((ax + b) + I) * (cs + d) + I) = \phi((ax + b)(cx + d) + I) = \phi( (acx^{2} + (bc + ad)x + (bd) ) + I )$ ... ovvero l'argomento ha un polinomio di secondo grado ... Quindi come procedo ?

[Desirio]

Sia $I$ un ideale di $Q[x]$ dove $I = (x^{2} - x + 2)$.
Voglio mostrare che $\phi: \frac{Q[x]}{I} \rightarrow M$ è un omomorfismo di anelli, $M$ è un sottoinsieme (sottoanello) delle matrici $2\times 2$ nei razionali. E per ogni $(ax + b) + I$ viene associata la matrice M con $m_{11} = b, m_{12} = a, m_{21} = -2a, m_{22} = a + b$.

Per mostrare che $\phi$ è un omomorfismo devo mostrare che l'unità viene mappata nell'unità (ed è vero), che $\phi(a + b) = \phi(a) + \phi(b), \forall a,b \in \frac{Q[x]}{I}$ ed è vero.

Per quanto riguarda il prodotto invece .... $\phi( ((ax + b) + I) * (cs + d) + I) = \phi((ax + b)(cx + d) + I) = \phi( (acx^{2} + (bc + ad)x + (bd) ) + I )$ ... ovvero l'argomento ha un polinomio di secondo grado ... Quindi come procedo ?

[megas_archon]

Nel quoziente, $x^2=x-2$ ovviamente. Da ciò, il prodotto di due classi di equivalenza diventa più semplice.

Il fatto è che

- come hai cercato di correggere -citando invece il messaggio di apertura- $M$ non è una matrice, semmai sarà l'anello delle matrici 2x2
- devi anche controllare che \(\phi\) sia ben definita: la mappa sovrastante manda a zero $I$?

[Desirio]

Nel quoziente, $x^2=x-2$ ovviamente. Da ciò, il prodotto di due classi di equivalenza diventa più semplice.

Il fatto è che

- come hai cercato di correggere -citando invece il messaggio di apertura- $M$ non è una matrice, semmai sarà l'anello delle matrici 2x2
- devi anche controllare che \(\phi\) sia ben definita: la mappa sovrastante manda a zero $I$?

Ciao si ho risolto, l'unica cosa.. non ho capito perché devo controllare che $\phi$ manda l'ideale I in zero... Puoi spiegarmi?


Per il resto, appunto ho calcolato il resto della divisione per $I$ e torna..

[megas_archon]

Per il primo teorema di isomorfismo, una mappa di anelli \(\phi : R\to S\) scende al quoziente \(R/I\) inducendo un omomorfismo \(R/I\to S : r+I\mapsto \phi(r)\) se e solo se \(\ker \phi \supseteq I\). Se non lo fa, \(\tilde\phi(r+I)=\phi(r)\) non è ben definita (non è costante sulle classi di equivalenza).