Algoritmo Euclideo per il campo dei polinomi

[francicko]

Sapreste darmi qualche delucidazione sulla dimostrazione riguardo la validità dell' algoritmo Euclideo nell'anello dei polinomi?

[axpgn]

Non mi pare sia un argomento trattato alle Superiori ...

[Martino]

Ho spostato in Algebra.

Comunque si può applicare l'algoritmo Euclideo ogni volta che si può fare la divisione con resto. Nel caso dell'anello dei polinomi $K[X]$, questo è sempre possibile se $K$ è un campo. Se $K$ non è un campo non si può applicare l'algoritmo di Euclide per polinomi qualsiasi (solo in casi particolari).

[francox]

L'algoritmo di Euclide è un metodo per trovare il massimo comun divisore di due polinomi in un anello di polinomi. La dimostrazione della validità di questo algoritmo si basa su alcune proprietà degli anelli di polinomi e sulla struttura degli stessi.

In particolare, si può dimostrare che l'algoritmo di Euclide funziona nell'anello dei polinomi su un campo K se e solo se \(\displaystyle K \) è un campo di caratteristica zero. Ciò significa che il valore di \(\displaystyle p*0 = 0 \) per ogni \(\displaystyle p \) appartenente a \(\displaystyle K \), dove \(\displaystyle * \) è l'operazione di moltiplicazione.

La dimostrazione della validità dell'algoritmo di Euclide nell'anello dei polinomi su un campo di caratteristica zero si basa sulla proprietà di esistenza di un inverso multiplicativo per ogni elemento non nullo del campo. Ciò significa che per ogni p appartenente a \(\displaystyle K \), esiste un elemento \(\displaystyle q \) appartenente a \(\displaystyle K \) tale che \(\displaystyle p*q = 1 \), dove \(\displaystyle 1 \) è l'elemento neutro per l'operazione di moltiplicazione.

Inoltre, nell'anello dei polinomi su un campo di caratteristica zero, è possibile dimostrare che per ogni polinomio f non nullo esiste un polinomio g tale che \(\displaystyle f*g = 1 \), dove \(\displaystyle * \) è l'operazione di moltiplicazione nell'anello dei polinomi. Ciò significa che nell'anello dei polinomi su un campo di caratteristica zero, ogni polinomio non nullo ha un inverso multiplicativo.

Utilizzando queste proprietà, è possibile dimostrare che l'algoritmo di Euclide funziona nell'anello dei polinomi su un campo di caratteristica zero. La dimostrazione specifica può essere un po' complessa e richiedere alcune conoscenze di base sugli anelli di polinomi e sulla teoria dei polinomi.

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Per dimostrare che l'algoritmo di Euclide funziona nell'anello dei polinomi su un campo di caratteristica zero, dobbiamo mostrare che il massimo comun divisore di due polinomi \(\displaystyle f \)e \(\displaystyle g \) esiste e che possiamo trovarlo utilizzando l'algoritmo di Euclide.

Per fare ciò, possiamo seguire questi passaggi:

Iniziamo con i polinomi \(\displaystyle f \) e \(\displaystyle g \), dove \(\displaystyle f \)è il polinomo più grande (per grado).
Se\(\displaystyle g = 0 \), allora il massimo comun divisore di \(\displaystyle f \) e \(\displaystyle g \) è \(\displaystyle f \). Altrimenti, continuiamo con il passaggio 3.
Calcoliamo il resto r della divisione di\(\displaystyle f \) per \(\displaystyle g \) utilizzando la divisione polinomiale.
Se \(\displaystyle r = 0 \), allora g è il massimo comun divisore di \(\displaystyle f \) e \(\displaystyle g \). Altrimenti, continuiamo con il passaggio 5.
Sostituiamo \(\displaystyle f \) con \(\displaystyle g \) e \(\displaystyle g \) con r e torniamo al passaggio 2.

Per dimostrare che questo algoritmo funziona, dobbiamo mostrare che a ogni passo il grado di f diminuisce e che l'algoritmo termina dopo un numero finito di passi.

Per dimostrare che il grado di \(\displaystyle f \) diminuisce a ogni passo, possiamo utilizzare la proprietà di esistenza di un inverso multiplicativo per ogni elemento non nullo del campo \(\displaystyle K \). Poiché il resto r della divisione di \(\displaystyle f \) per \(\displaystyle g \) è un polinomio di grado minore di \(\displaystyle f \), possiamo moltiplicare \(\displaystyle r \) per l'inverso multiplicativo di \(\displaystyle g \) per ottenere un polinomio di grado minore di \(\displaystyle f \). Ciò significa che a ogni passo il grado di \(\displaystyle f \) diminuisce.

Per dimostrare che l'algoritmo termina dopo un numero finito di passi, possiamo utilizzare la proprietà di esistenza di un inverso multiplicativo per ogni polinomio non nullo nell'anello dei polinomi su un campo di caratteristica zero. Ciò significa che se il grado di \(\displaystyle f \) è minore del grado di \(\displaystyle g \), allora \(\displaystyle f \) è un multiplo di \(\displaystyle g \) e quindi il resto della divisione di \(\displaystyle f \) per \(\displaystyle g \) è zero. In questo caso, l'algoritmo termina. Altrimenti, il grado di f continua a diminuire a ogni passo, quindi l'algoritmo termina dopo un numero finito di passi.

Utilizzando queste proprietà, possiamo dimostrare che l'algoritmo di Euclide funziona nell'anello dei polinomi su un campo di caratteristica zero, e quindi è possibile trovare il massimo comun divisore di due polinomi utilizzando questo algoritmo.

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Ad esempio, supponiamo di voler trovare il massimo comun divisore di \(\displaystyle f(x) = x^3 + 2x^2 + x + 1 \) e \(\displaystyle g(x) = x^2 + x + 1 \) nell'anello dei polinomi su un campo di caratteristica zero. Seguendo i passaggi dell'algoritmo di Euclide, otteniamo:

\(\displaystyle f(x) = x^3 + 2x^2 + x + 1, g(x) = x^2 + x + 1 \)
\(\displaystyle r = f(x) mod g(x) = x^3 + 2x^2 + x + 1 mod x^2 + x + 1 = x \)
\(\displaystyle f(x) = g(x), g(x) = r = x \)
\(\displaystyle r = f(x) mod g(x) = x^2 + x + 1 mod x = 0 \)

In questo caso, l'algoritmo termina al passo \(\displaystyle 4 \) poiché il resto della divisione di \(\displaystyle f(x) \) per \(\displaystyle g(x) \) è zero. Pertanto, \(\displaystyle g(x) \) è il massimo comun divisore di \(\displaystyle f(x) \) e \(\displaystyle g(x) \).

Per dimostrare che l'algoritmo termina dopo un numero finito di passi utilizzando la proprietà di esistenza di un inverso multiplicativo per ogni polinomio non nullo, possiamo mostrare che se il grado di f(x) è minore del grado di \(\displaystyle g(x) \), allora \(\displaystyle f(x) \) è un multiplo di \(\displaystyle g(x) \) e quindi il resto della divisione di \(\displaystyle f(x) \)

Per dimostrare che il grado di \(\displaystyle f(x) \) è minore del grado di \(\displaystyle g(x) \) implica che \(\displaystyle f(x) \) è un multiplo di \(\displaystyle g(x) \), possiamo utilizzare la proprietà di esistenza di un inverso multiplicativo per ogni polinomio non nullo nell'anello dei polinomi su un campo di caratteristica zero. Ciò significa che per ogni polinomio f(x) non nullo esiste un polinomio \(\displaystyle g(x) \) tale che \(\displaystyle f(x) * g(x) = 1, \) dove \(\displaystyle * \) è l'operazione di moltiplicazione nell'anello dei polinomi.

Supponiamo di avere due polinomi f(x) e g(x) con grado di f(x) minore del grado di g(x). Se f(x) è un multiplo di \(\displaystyle g(x) \), allora esiste un polinomio \(\displaystyle h(x) \) tale che \(\displaystyle f(x) = g(x) * h(x) \). In questo caso, il grado di h(x) è maggiore o uguale al grado di f(x).

Tuttavia, poiché il grado di \(\displaystyle f(x) \) è minore del grado di g(x), il grado di h(x) deve essere minore o uguale al grado di g(x). Ciò significa che h(x) è un polinomio di grado minore o uguale a g(x) e quindi esiste un inverso multiplicativo per h(x) nell'anello dei polinomi.

Pertanto, possiamo moltiplicare entrambi i membri dell'equazione \(\displaystyle f(x) = g(x) * h(x) \) per l'inverso multiplicativo di h(x) per ottenere:

\(\displaystyle f(x) * h(x)^(-1) = g(x) * h(x) * h(x)^(-1) \)

\(\displaystyle f(x) * h(x)^(-1) = g(x) * 1 \)

\(\displaystyle f(x) * h(x)^(-1) = g(x) \)

In questo modo, abbiamo dimostrato che se il grado di \(\displaystyle f(x) \) è minore del grado di \(\displaystyle g(x) \), allora \(\displaystyle f(x) \) è un multiplo di \(\displaystyle g(x) \). Ciò significa che il resto della divisione di \(\displaystyle f(x) \) per \(\displaystyle g(x) \) è zero e quindi l'algoritmo di Euclide termina.

[hydro]

L'algoritmo di Euclide è un metodo per trovare il massimo comun divisore di due polinomi in un anello di polinomi. La dimostrazione della validità di questo algoritmo si basa su alcune proprietà degli anelli di polinomi e sulla struttura degli stessi.

In particolare, si può dimostrare che l'algoritmo di Euclide funziona nell'anello dei polinomi su un campo K se e solo se \(\displaystyle K \) è un campo di caratteristica zero. Ciò significa che il valore di \(\displaystyle p*0 = 0 \) per ogni \(\displaystyle p \) appartenente a \(\displaystyle K \), dove \(\displaystyle * \) è l'operazione di moltiplicazione.

La dimostrazione della validità dell'algoritmo di Euclide nell'anello dei polinomi su un campo di caratteristica zero si basa sulla proprietà di esistenza di un inverso multiplicativo per ogni elemento non nullo del campo. Ciò significa che per ogni p appartenente a \(\displaystyle K \), esiste un elemento \(\displaystyle q \) appartenente a \(\displaystyle K \) tale che \(\displaystyle p*q = 1 \), dove \(\displaystyle 1 \) è l'elemento neutro per l'operazione di moltiplicazione.

Inoltre, nell'anello dei polinomi su un campo di caratteristica zero, è possibile dimostrare che per ogni polinomio f non nullo esiste un polinomio g tale che \(\displaystyle f*g = 1 \), dove \(\displaystyle * \) è l'operazione di moltiplicazione nell'anello dei polinomi. Ciò significa che nell'anello dei polinomi su un campo di caratteristica zero, ogni polinomio non nullo ha un inverso multiplicativo.

E chi ti ha raccontato tutte queste stupidaggini?

[Martino]

Occhio francox, hai molta confusione su alcuni concetti. Suggerisco di non spiegare concetti se prima non li hai capiti perfettamente.