Consideriamo l’anello $A=ZZ[sqrt(10)]$. Per ogni primo $p$ mostrare che esistono al più due ideali $I$ di $A$ tale che $A_(/I)$ è isomorfo a $ZZ_(/p)$.
Se $A_(/I)$ è isomorfo a $ZZ_(/p)$ allora esiste un omomorfismo suriettivo $\varphi:A->ZZ_(/p)$ tale che $Ker\varphi=I$. Quindi mi basta mostrare che posso trovare al più due omomorfismi suriettivi da $A$ a $ZZ_(/p)$. Se $ainZZ$ allora $\varphi(a)=[a]_(p)$. Quindi devo trovare $\varphi(sqrt(10))$. Abbiamo che $\varphi^2(sqrt(10))=\varphi(10)=[10]_(p)$. Devo trovare quindi gli elementi di $ZZ_(/p)$ che elevati al quadrato fanno $10$, in particolare ognuno di questi elementi mi determina un omomorfismo suriettivo da $A$ a $ZZ_(/p)$ e quindi devo mostrare che esistono al più $2$ elementi di $ZZ_(/p)$ che al quadrato fanno $10$. Avevo pensato di provare questo ragionando per assurdo (quindi supponendo che esistano almeno $3$ elementi che al quadrato fanno $10$) ma non sono ancora riuscito a provarlo, qualcuno può aiutarmi?