Generatore di un campo di spezzamento finito

[andreadel1988]

Sia $f=x^3+x^2+1inZZ_(/2)[X]$ e $\alpha$ una radice di $f$. Abbiamo che $K=ZZ_(/2)[\alpha]=\mathbb{F}_8$ (ovvero il campo con $8$ elementi). Sia $ginK[X]$ irriducibile di grado $4$ e sia $\beta$ una radice di $g$. Abbiamo che $L=K[\beta]=\mathbb{F}_(2^12)$ e l'unico campo intermedio $F$ fra $K$ e $L$ (ovvero tale che $KsubFsubL$) è $\mathbb{F}_(2^6)$. Trovare una base di $K$ su $ZZ_(/2)$ e stabilire se $\beta$ è un generatore del gruppo $L^(ast)$ (ovvero il gruppo $L$ senza lo $0$).
Per una base di $K$ avevo pensato a ${1,\alpha,\alpha^2}$ ma non sono sicuro che lo sia. Mentre per $\beta$ se fosse generatore di $L$ dovrebbe generare anche gli elementi di $\mathbb{F}_(2^6)$ (poichè i suoi elementi appartengono a $L$) ma quest'ultimo è campo di spezzamento di un polinomio irriducibile di grado $2$ su $K$ mentre $\beta$ è radice di un polinomio irriducibile di grado $4$ su $K$ per cui $\beta$ non può essere generatore. Neanche di questo sono sicuro che sia giusto quindi se potete aiutarmi, grazie.

[Martino]

Potrei capire male io, ma il problema mi sembra sottodeterminato. Qualsiasi generatore $beta$ del gruppo $L^(ast)$ ha polinomio minimo di grado $4$ su $K$ e quindi in ultima analisi direi che senza conoscere $g(X)$ non si può rispondere. Per esempio se $g(X)$ ha coefficienti in $\mathbb{F}_2={0,1}$ allora $\mathbb{F}_2(beta)$ ha grado $4$ su $\mathbb{F}_2$ e quindi $beta$ non può generare $L^(ast)$ (perché se $beta$ genera $L^(ast)$ allora ovviamente $\mathbb{F}_2(beta)=L$). Ma senza informazioni su $g$ non credo si possa rispondere.

[andreadel1988]

Potrei capire male io, ma il problema mi sembra sottodeterminato.

Ma guarda il testo è questo:

non vorrei aver dedotto cose sbagliate per cui dai una controllata a quello che ho scritto.

[Cannelloni]

La base è corretta. In generale, per estensioni algebriche, puoi dire che una base di $K(\alpha)$ è $\{1,\alpha,\alpha^2,\ldots,\alpha^{n-1}\}$ dove $n$ è il grado del polinomio minimo di $\alpha$ su $K$

[andreadel1988]

In generale, per estensioni algebriche, puoi dire che una base di $K(\alpha)$ è $\{1,\alpha,\alpha^2,\ldots,\alpha^{n-1}\}$ dove $n$ è il grado del polinomio minimo di $\alpha$ su $K$

Il fatto che $K(\alpha)$ abbia dimensione $n$ viene dalla definizione di estensione finita di campo quindi mi basterebbe mostrare che $\{1,\alpha,\alpha^2,\ldots,\alpha^{n-1}\}$ sono linearmente indipendenti ma se non lo fossero allora esisterebbero $a_(n-1),...,a_0inK$ non tutti nulli tale che $a_(n-1)\alpha^{n-1}+...+a_0=0$ e quindi il polinomio non nullo $a_(n-1)x^{n-1}+...+a_0=0$ si annulla in $\alpha$, ma questo polinomio ha grado $n-1$ mentre il polinomio minimo di $alpha$ ha grado $n$ e quindi sarebbe assurdo per cui ${1,\alpha,\alpha^2,\ldots,\alpha^{n-1}\}$ sono linearmente indipendenti e quindi sono una base. Ma allora ${1,beta,beta^2,beta^3}$ è una base di $L$, non si potrebbe lavorare con questo per mostrare che $beta$ non è un generatore di $L^(ast)$?

[Martino]

Segui il mio ragionamento.

Prendiamo un generatore $gamma$ del gruppo moltiplicativo $L^(ast)$.
Allora $L=K(gamma)=\mathbb{F}_2(gamma)$, penso che fin qui ci siamo.

Siccome $|L:K|=4$, il polinomio minimo di $gamma$ su $K$ ha grado $4$.

Bene, questo significa che non puoi sperare di mostrare che $beta$ non è un generatore di $L^(ast)$, perché ti ho appena dimostrato che ogni generatore $gamma$ di $L^(ast)$ soddisfa le stesse ipotesi imposte a $beta$ (essere radice di un polinomio irriducibile di $K[X]$ di grado $4$).

D'altra parte non ogni elemento di $L$ il cui polinomio minimo su $K$ ha grado $4$ è un generatore di $L^(ast)$, per esempio se prendiamo $delta in L-F$, allora ovviamente $L=K(delta)$ quindi il polinomio minimo di $delta$ su $K$ ha grado $4$, d'altra parte $L^(ast)$ ha $varphi(2^(12)-1)=1728$ generatori e $|L-F|=2^(12)-2^6=4032$, quindi esistono elementi di $L-F$ che non generano $L^(ast)$ (ma comunque hanno tutti polinomio minimo su $K$ di grado $4$, come ti ho mostrato sopra).

Quindi non puoi nemmeno sperare di mostrare che $beta$ genera $L^(ast)$, dipende dal polinomio $g(X)$.

[andreadel1988]

Prendiamo un generatore $gamma$ del gruppo moltiplicativo $L^(ast)$.
Allora $L=K(gamma)=\mathbb{F}_2(gamma)$, penso che fin qui ci siamo.

Siccome $|L:K|=4$, il polinomio minimo di $gamma$ su $K$ ha grado $4$.

Non ho ben capito perchè $L=K(gamma)$ e il polinomio minimo di $gamma$ su $K$ ha grado $4$.

...
per esempio se prendiamo $delta in L-F$, allora ovviamente $L=K(delta)$ quindi il polinomio minimo di $delta$ su $K$ ha grado $4$

Anche qui non ho capito perchè $L=K(delta)$.

[Martino]

$K(gamma)=L$ perché $K(gamma)$ contiene tutte le potenze di $gamma$, cioè contiene $L^(ast)$.

Il grado $|L:K|$ vale $4$ per costruzione. D'altra parte $K(gamma)=L$, quindi $4=|L:K|=|K(gamma):K|$, che è il grado del polinomio minimo di $gamma$ su $K$.

$K(delta)$ sta tra $K$ e $L$, quindi può essere solo $K,F$ o $L$. Ma non può essere $K$ né $F$ perché abbiamo preso $delta$ fuori da $F$. Quindi $K(delta)=L$.

[andreadel1988]

$K(gamma)=L$ perché $K(gamma)$ contiene tutte le potenze di $gamma$, cioè contiene $L^(ast)$.

Scusa mi sto un attimo perdendo, con $K(gamma)$ indichi l insieme ${f(gamma)| finK[X]}$ oppure l'insieme ${f(gamma)/g(gamma)| f,ginK[X], g(gamma)!=0}$?

[Martino]

Il secondo che hai detto, che peraltro coincide col primo che hai detto perché $gamma$ è algebrico su $K$.