Generatore di un campo di spezzamento finito

[andreadel1988]

Il secondo che hai detto, che peraltro coincide col primo che hai detto perché $gamma$ è algebrico su $K$.

A quindi tu dici di prendere i polinomi $0,x,x^2,...,x^ninK[X]$ e quindi valutati in $gamma$ danno $0,gamma,gamma^2,...,gamma^ninK(gamma)$ e quindi siccome $gamma$ genera $L^(ast)$ allora $L^(ast)subK(gamma)$ e inoltre $0inK(gamma)$ allora $K(gamma)=L$? Non potrebbe essere però che $LsubK(gamma)$?

[Martino]

Sì certo, e $L$ non può essere propriamente contenuto in $K(gamma)$ perché $gamma$ appartiene a $L$.

[andreadel1988]

$L$ non può essere propriamente contenuto in $K(gamma)$ perché $gamma$ appartiene a $L$.

Scusa il fatto che $gamma$ appartiene a $L$ come dimostrerebbe che $L$ non è contenuto propriamente in $K(gamma)$? In teoria per mostrare questo dovrei far vedere che $f(gamma)inL$ per ogni $finK[X]$ no?

[Martino]

Ma $f(gamma)$ è ottenuto a partire da $gamma in L$ e dagli elementi di $K$ (che sono tutti contenuti in $L$) facendo operazioni di campo (somme, sottrazioni, moltiplicazioni, divisioni) quindi è chiaro che $f(gamma) in L$. Questo è un fatto teorico molto di base.

[andreadel1988]

Ma $f(gamma)$ è ottenuto a partire da $gamma in L$ e dagli elementi di $K$ (che sono tutti contenuti in $L$) facendo operazioni di campo (somme, sottrazioni, moltiplicazioni, divisioni) quindi è chiaro che $f(gamma) in L$

Ah dici il fatto che un polinomio di $K[X]$ qualunque è della forma $a_nx^n+...+a_1x+a_0$ dove $a_n,...,a_0inK$
e quindi $f(gamma)=a_ngamma^n+...+a_1gamma+a_0$ ma sappiamo che $gamma,...,gamma^ninL$ e inoltre $a_n,...,a_0inL$ poichè $L$ è un estensione di $K$ e quindi $f(gamma)inL$ per le operazioni di campo. Non ci avevo pensato scusa

[Martino]

Sì esatto, che scusa, niente figurati

[andreadel1988]

Sì esatto, che scusa, niente figurati

Intendevo scusa per la banalità di quella domanda sul fatto che $K[gamma]=L$

[Martino]

Ok

[andreadel1988]

Ok

Comunque è molto strano che non si può sapere in base a $g$ perchè si tratta di un esame degli anni passati dato che mi sto esercitando per l'esame e dare una domanda del genere è alquanto strana se ha questa risposta ahahahah. Però per come mi hai mostrato tu è cosi quindi sono perplesso ahhahah.

[Martino]

Non puoi provare a mandare una mail al docente? Mi sembra la soluzione migliore. Oppure andare a ricevimento.