Stabilire se il gruppo U(Z36) è ciclico

[michele_7483]

Gentili utenti,
vorrei sapere se ho impostato correttamente lo svolgimento del seguente esercizio:

Stabilire se il gruppo $U(\mathbb{Z_{36}})$ è ciclico

Svolgimento:

Si ha

$U(\mathbb{Z_{36}}) = \{1,5,7,11,13,17,19,23,25,29,31,35}$

dove, per semplicità, si è indicata con $a$ la classe di resto $[a]_36$

Trattandosi di un gruppo finito, di ordine $12$, per il teorema di Lagrange ogni $a \in U(\mathbb{Z_{36}})$ ha per ordine uno dei seguenti

$1,2,3,4,6,12$

Dobbiamo verificare se esista un elemento di ordine $12$.

Allora, per ogni $a \in U(\mathbb{Z_{36}}), a \ne 1$ procediamo in questo modo:

Calcoliamo, nell'ordine:

$a^2\quad a^3\quad a^4\quad a^6$

fermandoci quando otteniamo come risultato $1$: se $a^k=1$ allora l'ordine di $a$ è $k$.
Se nessuna delle suddette potenze risulta uguale a $1$, allora, per esclusione, l'ordine di $a$ è $12$.

[andreadel1988]

Gentili utenti,
vorrei sapere se ho impostato correttamente lo svolgimento del seguente esercizio:

Stabilire se il gruppo $U(\mathbb{Z_{36}})$ è ciclico

Svolgimento:

Si ha

$U(\mathbb{Z_{36}}) = \{1,5,7,11,13,17,19,23,25,29,31,35}$

dove, per semplicità, si è indicata con $a$ la classe di resto $[a]_36$

Trattandosi di un gruppo finito, di ordine $12$, per il teorema di Lagrange ogni $a \in U(\mathbb{Z_{36}})$ ha per ordine uno dei seguenti

$1,2,3,4,6,12$

Dobbiamo verificare se esista un elemento di ordine $12$.

Allora, per ogni $a \in U(\mathbb{Z_{36}}), a \ne 1$ procediamo in questo modo:

Calcoliamo, nell'ordine:

$a^2\quad a^3\quad a^4\quad a^6$

fermandoci quando otteniamo come risultato $1$: se $a^k=1$ allora l'ordine di $a$ è $k$.
Se nessuna delle suddette potenze risulta uguale a $1$, allora, per esclusione, l'ordine di $a$ è $12$.

Si esatto e ti dovrebbe venire che nessun elemento ha ordine $12$ e quindi il gruppo non è ciclico.

[andreadel1988]

Se non vuoi fare troppi calcoli basta che noti che:
$[5^2]=[25]$
$[5^3]=[17]$
$[5^6]=[25^3]=[17^2]=[1]$
$[7^2]=[13]$
$[7^3]=[7]*[13]=[19]$
$[7^6]=[13^3]=[19^2]=[1]$
$[11^2]=[13]$
$[11^6]=[13^3]=[1]$
$[23]=[-13]$
$[23^6]=[13^6]=[1]$
$[29]=[-7]$
$[29^6]=[7^6]=[1]$
$[31]=[-5]$
$[31^6]=[5^6]=[1]$
$[35]=[-1]$
$[35^2]=[1]$
(spero di non aver sbagliato calcoli )

[michele_7483]

Se non vuoi fare troppi calcoli basta che noti che:
$[5^2]=[25]$
$[5^3]=[17]$
$[5^6]=[25^3]=[17^2]=[1]$
$[7^2]=[13]$
$[7^3]=[7]*[13]=[19]$
$[7^6]=[13^3]=[19^2]=[1]$
$[11^2]=[13]$
$[11^6]=[13^3]=[1]$
$[23]=[-13]$
$[23^6]=[13^6]=[1]$
$[29]=[-7]$
$[29^6]=[7^6]=[1]$
$[31]=[-5]$
$[31^6]=[5^6]=[1]$
$[35]=[-1]$
$[35^2]=[1]$
(spero di non aver sbagliato calcoli )

Grazie mille, un'ultima domanda: ogni gruppo $U(\mathbb{Z_p})$ con $p$ primo è ciclico, giusto?

[andreadel1988]

Grazie mille, un'ultima domanda: ogni gruppo $U(\mathbb{Z_p})$ con $p$ primo è ciclico, giusto?

Si, in generale preso un campo finito $K$ se considero il gruppo $K^(ast)$ (ovvero il campo $K$ senza l'elemento nullo) questo è ciclico.

[Stickelberger]

Invece di enumerare gli elementi di $U(ZZ_{36})$ si potrebbe osservare che $36=4\cdot 9$.
Per il teorema cinese del resto il gruppo $U(ZZ_{36})$ e’ quindi isomorfo al prodotto di $U(ZZ_{4})$ per $U(ZZ_{9})$.
Ne segue che $U(ZZ_{36})$ non e’ ciclico.

Infatti, si ha che $\#U(ZZ_{4})=2$ e $\#U(ZZ_{9})=6$ e quindi la $6^a$ potenza di ogni elemento di
$U(ZZ_{4})\times U(ZZ_{9})$ e’ uguale all’elemento neutro.

Alternativamente, i quattro elementi $(\pm 1,\pm 1)$ del gruppo $U(ZZ_{4})\times U(ZZ_{9})$ hanno quadrato uguale all’elemento neutro. In un gruppo ciclico ci sono soltanto $\le 2$ elementi con questa proprieta’.