Sottoanello di $Q(X)$

[andreadel1988]

Sia $f=x^2+x+1inQQ[x]$ e $A={g/h: g,hinQQ[X], f∤h}$. Abbiamo che l'unico ideale massimale è $I={(fg)/h: f∤h}$, devo mostrare che $A_(/I)$ è un estensione finita di $QQ$. Abbiamo che $[f]_(I)=[0]_(I)$, se mostrassi che $[g/h]_(I)$ si può scrivere nella forma $[aX+b]_(I)$ avremmo che $A_(/I)$ è un estensione finita di $QQ$ di grado $2$. In teoria se $deg(g)>=2$ posso dividerlo per $f$ e quindi otterrei che $[g/h]_(I)=[r/h]_(I)$ dove $deg(r)<2$ ovvero $[g/h]_(I)=[(aX+b)/h]_(I)$, però da qui come faccio a dire che è uguale a $[aX+b]_(I)$?

[Martino]

La prima cosa che proverei a fare è applicare il teorema di isomorfismo alla composizione

$QQ[X] -> A -> A//I$

dove la prima freccia è l'inclusione e la seconda è la proiezione. Se questa composizione è suriettiva e il suo nucleo è $(f)$ allora per il teorema di isomorfismo $QQ[X]//(f) cong A//I$.

[andreadel1988]

è applicare il teorema di isomorfismo alla composizione

$QQ[X] -> A -> A//I$

dove la prima freccia è l'inclusione e la seconda è la proiezione.

Non sarebbe $QQ(X) -> A -> A//I$?

[Martino]

Non sarebbe $QQ(X) -> A -> A//I$?

Ovviamente no!

[andreadel1988]

Ovviamente no!

E scusa come fa $QQ[X]->A$ a essere un omomorfismo suriettivo se $A$ contiene $QQ[X]$?

[Martino]

Non è $QQ[X] to A$ ad essere suriettivo, è $QQ[X] to A//I$, cioè la composizione $QQ[X] to A to A//I$. Cerca di leggere con attenzione.

[andreadel1988]

Non è $QQ[X] to A$ ad essere suriettivo, è $QQ[X] to A//I$, cioè la composizione $QQ[X] to A to A//I$. Cerca di leggere con attenzione.

Si si avevo letto bene ma pensavo volessi mostrare che era un omomorfismo surriettivo poichè composizione di omomorfismi suriettivi ma mi son sbagliato

[andreadel1988]

Se questa composizione è suriettiva e il suo nucleo è $(f)$ allora per il teorema di isomorfismo $QQ[X]//(f) cong A//I$.

Vabbe che il nucleo sia $(f)$ è semplice poichè $ginQQ[X]$ appartiene ad $I$ se e solo se $gin(f)$ per cui $kerphi=(f)$, ora rimane da mostrare che $phi$ è surriettiva.

[andreadel1988]

La prima cosa che proverei a fare è applicare il teorema di isomorfismo alla composizione

$QQ[X] -> A -> A//I$

dove la prima freccia è l'inclusione e la seconda è la proiezione. Se questa composizione è suriettiva

Sinceramente a me non risulta che questa composizione sia suriettiva, infatti $phi(g)=[g/1]_I$ non mi risulta $Imphi=A_(/I)$.

[Martino]

Dato $r/h$ devi trovare $g/1$ tale che $r/h-g/1 in I$.

In altre parole, dato $r/h$ devi trovare $g/1$ e $u/s$ tali che $g/1-r/h = (fu)/s$. Prova.