Amenabilità di un estensione di gruppo.

[3m0o]

Non capisco troppo bene questa dimostrazione:

Proposizione: Sia \( N < G \) un sottogruppo normale di \(G\) e \(Q= G/N \). Se \(N \) e \(Q\) sono amenabili allora \(G\) lo è anche.

Dimostrazione:
Usiamo il teorema dei punti fissi per un gruppo, i.e. \(G \) è amenabile se e solo se ciascun \(G\)-set convesso e compatto \(K\neq \emptyset \) possiede un punto fisso, i.e. \(K^G \neq \emptyset \). Ricordo che un \(G\)-set convesso compatto è un sottoinsieme \( K \subseteq V \) di uno spazio vettoriale topologico \(V\) con un azione lineare di \(G\) su \(V\) che preserva \(K\). Assumiamo inoltre che \(V\) è localmente convesso e che \( G\) agisce continuamente su \(V\).

Sia allora \(K\neq \emptyset \) uno convesso compatto in particolare \(K\) è un \(N\)-set. Siccome \(N\) è amenabile abbiamo allora che \( K^N \neq \emptyset \). Abbiamo inoltre che \(K^N \) è fissato da \(N\), notiamo che \(g\) e \(gN\) agiscono nello stesso modo su \(K^N\) per \(g\in G\) pertanto c'è un azione di \(Q\) su \(K^{N} \) ben definita. Dobbiamo controllare che \(K^N\) è anche uno \(Q\)-set convesso compatto.

Convessità: Se \(p,q \in K^N\), \(n \in N \) e \( t \in [0,1] \) allora
\[ n \cdot (tp + (1-t)q) = tn \cdot p + (1-t)n \cdot q = tp + (1-t)q \in K^N \] pertanto \(K^N \) è convesso.

Compatto: Abbiamo che \(K^N \) è compatto poiché
\[ K^N = \bigcap_{n \in N} \{ p \in K : n \cdot p = p \} \]
è chiuso in \(K\), siccome \(n \) agisce continuamente e l'uguaglianza è una condizione di chiusura.

Per il teorema dei punti fissi per un gruppo abbiamo che \(Q\) fissa un punto \(k \in K^{N} \subseteq K \). Abbiamo quindi che \(G \) fissa \(k\) poiché \(g \cdot k = g \cdot (N \cdot k ) = (gN) \cdot k = k \)
dove la prima uguaglianza arriva dal fatto che \(N\) fissa \(k\) e l'ultima dal fatto che \( Q \) fissa \(k\). Pertanto \(G\) è amenabile


Domande: Non ho troppo capito come verifica la convessità e la compatezza. In particolare perché prende \(n \in N \) e come fa a concludere che \( tp + (1-t)q \in K^N \) ? In secondo luogo perché è chiuso?