Polinomio in $K[X,Y,Z]$

[andreadel1988]

Sia $K$ un campo e consideriamo il polinomio di $F=x^2+y^2+z^2inK[X,Y,Z]$. Se $char(k)!=2$ consideriamo il campo $L=K(Y,Z)$. Mostrare che $F$ è irriducibile in $L[X]$. Allora io ho pensato che siccome $x^2+y^2+z^2$ è di secondo grado in $L[X]$ allora se fosse riducibile si scriverebbe come due polinomi di primo grado in $L[x]$, per cui ammette radici. Ora sappiamo che le radici di un polinomio sono della forma $r/s$ dove $r$ divide il coefficiente direttore di $x$ e $s$ divide il termine noto. Siccome il coefficienti direttore di $x$ è $1$ allora $s=+-1$. Sappiamo che $s|y^2+z^2$ e inoltre sappiamo che un $y^2+z^2$ è riducibile in $K(Y,Z)$ se e solo se si scrive come prodotto di due polinomi in $K[Y,Z]$ di grado positivo. L'unica possibilità è $y^2+z^2=(y+kz)(y-kz)$ dove $k^2=-1$, altrimenti $y^2+z^2$ è irriducibile. Per cui $s=+-1,+-(y+kz),+-(y-kz),+-(y^2+z^2)$ andando a sostituire questi al posto della $x$ nel polinomio $x^2+y^2+z^2$ nessuna di questa risulta essere radici per cui il polinomio $x^2+y^2+z^2$ è irriducibile su $L$. Volevo sapere intanto se fosse sbagliato qualcosa nel mio ragionamento e se ci fosse un modo più veloce per farlo, grazie.

[Martino]

No, non ci siamo. Intanto parli di divisibilità nel campo dei coefficienti $K(Y,Z)$ e questo è strano perché in un campo ogni elemento non nullo divide tutti gli elementi. Poi ti chiedi quando $y^2+z^2$ è riducibile in $K(Y,Z)$, il che ha poco senso perché in un campo gli elementi non nulli sono invertibili e la riducibilità ha senso solo per elementi non invertibili. Infine, nel tuo argomento non usi il fatto che la caratteristica è diversa da $2$ e lo devi usare per forza perché in caratteristica $2$ abbiamo $x^2+y^2+z^2=(x+y+z)^2$.

Prova a scrivere $x^2+y^2+z^2=(x+a)(x+b)$ con $a,b in K(Y,Z)$ e cerca di dedurne una contraddizione.

[andreadel1988]

Prova a scrivere $x^2+y^2+z^2=(x+a)(x+b)$ con $a,b in K(Y,Z)$ e cerca di dedurne una contraddizione.

Avrei che $a+b=0$ e $ab=y^2+z^2$. Ora non sono a casa quindi non ho carta e penna, ho provato a fare alcuni calcoli ( $(a+b)^2$ oppure $b=-a$) ma non sono giunto ancora a una contraddizione, mi sapresti dire in che direzione andare precisamente, grazie.

[Martino]

Beh prova a casa con carta e penna.

[andreadel1988]

Ma se mostrassi che $y^2+z^2$ non è un quadrato così che esiste un irriducibile che lo divide una volta sola e poi usi Eisenstein (dato che $K[Y,Z]$ è UFD) con quell'irriducibile così ho che $x^2+y^2+z^2$ è irriducibile su $L[X]$?

[Martino]

Mi sembra esagerato usare Eisenstein e il lemma di Gauss per un polinomio di grado 2.

[andreadel1988]

Prova a scrivere $x^2+y^2+z^2=(x+a)(x+b)$ con $a,b in K(Y,Z)$ e cerca di dedurne una contraddizione.

Allora abbiamo che $-a^2=y^2+z^2$, quindi è della forma $a=(cy+dz)$ con $c,dinK$ in cui $c^2=d^2=-1$ e $cd=0$ (poichè $charK!=2$). Da questo ottengo che $-c=cd^2=0$ e $-d=c^2d=0$ da cui $c=d=0$, assurdo.

[Martino]

Può andare.

[andreadel1988]

Può andare.

Sennò tu come avresti fatto, scusa se te lo chiedo ma per vedere qualcosa che io non ho pensato.

[Martino]

Avrei fatto come hai fatto tu.