Campi di spezzamento finiti

[andreadel1988]

Siano $f=x^3-x-1$ e $g=x^3-x+1$ polinomi in $\mathbb{F}_(3)[X]$. Determinare i campi di spezzamento di $f$ e $g$, e determinare esplicitamente, se esiste, un isomorfismo $\varphi:\mathbb{F}_(3)[X]_(/(f))->\mathbb{F}_(3)[X]_(/(g))$. Per i campi di spezzamento abbiamo $\mathbb{F}_(3)[X]_(/(f)) e \mathbb{F}_(3)[X]_(/(g))$ che sono entrami isomorfi a $\mathbb{F}_(27)$. Per l'isomorfismo in teoria sarebbe $\varphi([ax^2+bx+c]_(f))=[ax^2+bx+c]_(g)$ con $a,b,cin\mathbb{F}_(3)$. Non so però se sia giusto se potete confermarmi o confutarmi grazie.

[Stickelberger]

Va cambiato il segno di $b$.

[andreadel1988]

Va cambiato il segno di $b$.

Come mai se sto considerando il polinomio nella classe di $g$?

[Stickelberger]

La tua applicazione non e’ un omomorfismo. Per esempio, si ha che
$\phi([x]_f\cdot [x^2]_f)=\phi([x+1]_f) =[x+1]_g$, mentre
$\phi([x]_f)\cdot\phi([x^2]_f) =[x]_g\cdot[x^2]_g=[x-1]_g$ e quindi

$\phi([x]_f\cdot [x^2]_f) != \phi([x]_f)\cdot\phi([x^2]_f)$.

[andreadel1988]

La tua applicazione non e’ un omomorfismo. Per esempio, si ha che
$\phi([x]_f\cdot [x^2]_f)=\phi([x+1]_f) =[x+1]_g$, mentre
$\phi([x]_f)\cdot\phi([x^2]_f) =[x]_g\cdot[x^2]_g=[x-1]_g$ e quindi

$\phi([x]_f\cdot [x^2]_f) != \phi([x]_f)\cdot\phi([x^2]_f)$.

Ah si si, ma quindi come faccio a determinarlo? Ce perchè effettivamente mettere un meno davanti a $b$ fa quadrare le cose?

[Stickelberger]

Poiche’ $[x]_f$ e’ uno zero del polinomio $Y^3-Y-1$, anche $\phi([x]_f)$ deve esserlo.
E quindi $\phi([x]_f)$ non puo’ essere $[x]_g$, perche’ $[x]_g$ e’ uno zero di $Y^3-Y+1$
invece di $Y^3-Y-1$.

Fortunatemente $-[x]_g$ e’ uno zero di di $Y^3-Y-1$. E quindi l’omomorfismo che manda
$[x]_f$ in $-[x]_g$ e’ ben definito.

Anche $\phi([x]_f)=-[x]_g+1$ e $\phi([x]_f)=-[x]_g+2$ potrebbero andare.

[andreadel1988]

Poiche’ $[x]_f$ e’ uno zero del polinomio $Y^3-Y-1$, anche $\phi([x]_f)$ deve esserlo.
E quindi $\phi([x]_f)$ non puo’ essere $[x]_g$, perche’ $[x]_g$ e’ uno zero di $Y^3-Y+1$
invece di $Y^3-Y-1$.

Fortunatemente $-[x]_g$ e’ uno zero di di $Y^3-Y-1$. E quindi l’omomorfismo che manda
$[x]_f$ in $-[x]_g$ e’ ben definito.

Anche $\phi([x]_f)=-[x]_g+1$ e $\phi([x]_f)=-[x]_g+2$ potrebbero andare.

Ah ok quindi se ho capito bene in generale prendo $[x]_(f)$ radice di $f$, devo mandarla in un elemento che la fa rimanere radice di $f$ e così l'omomorfismo viene da se, giusto?