Valutazione euclidea su $ZZ$

[andreadel1988]

Consideriamo la funzione $\rho:ZZ->ZZ$ data da $\rho(m)=n iff 2^n<=abs(m)<2^(m+1)$ per ogni $m!=0$, e $\rho(0)=-1$. Mostrare che $\rho$ è una valutazione euclidea su $ZZ$.
Intanto c'è qualcosa che non mi rida, ad esempio se prendiamo $m<=-1$ abbiamo che $abs(m)>=1$ e $2^(m+1)<=1$ per cui si avrebbe che $abs(m)>=2^(m+1)$ che proprio il contrario della richiesta $abs(m)<2^(m+1)$. Da questo deduco che $m>=0$ se però prendo $m=1$ posso porre $\rho(1)=-1$ poichè $1/2<=1<4$. Ma allora si avrebbe che $\rho(0)=\rho(1)$ il che contraddice la proprietà di valutazione euclidea secondo cui $\rho(0)<\rho(a)$ per ogni $0!=ainZZ$. Qualcuno mi sa dire se ho interpretato male io o cosa?

[megas_archon]

\(\rho(m)=n \iff 2^n \le |m| <2^{{\color{red}n}+1}\).

[andreadel1988]

\(\rho(m)=n \iff 2^n \le |m| <2^{{\color{red}n}+1}\).

Guarda tu stesso:

[megas_archon]

A volte ci sono errori di battitura nelle consegne degli esercizi. Se uno ci pensa, non ci può credere!

Più seriamente, dovresti mostrare che esiste un solo $n=n(m)$ tale che \(2^n\le |m|<2^{n+1}\). Tale $n$ è definito come la valutazione di $m$.

[andreadel1988]

Più seriamente, dovresti mostrare che esiste un solo $n=n(m)$ tale che \(2^n\le |m|<2^{n+1}\). Tale $n$ è definito come la valutazione di $m$.

Beh in teoria se chiamo $n_max$ l'intero $n$ massimo tale che $abs(m)>=2^(n_(max))$ allora se considero un qualunque $n<n_(max)$ (e quindi $n+1<=n_(max)$) che per assurdo rispetta la condizione \(2^n\le |m|<2^{n+1}\) si ha che $2^(n_(max))<=abs(m)<2^(n+1)<=2^(n_(max))$ assurdo (poichè avrei ottenuto $2^(n_(max))<2^(n_(max))$). Per cui esiste un solo $n$ che rispetta questa condizione.

[andreadel1988]

Sono riuscito a fare tutto però non mi convince molto la parte della valutazione euclidea quando devo mostrare che dati $a,binZZ$ con $b!=0$ esistono $r,qinZZ$ tale che $a=qb+r$ con $rho(r)<rho(b)$. Io ho pensato di fare questa divisione con resto ovvero $a=qb+r$ con $abs(2r)<=abs(b)$. In questo modo ho che $2^(rho(b))>=2^(rho(r)+1)>2^(rho(r))$ per cui $rho(b)>rho(r)$. Però non so, non sono molto convinto ma è l'unica cosa che mi è venuta in mente, sapete dirmi?

[andreadel1988]

A volte ci sono errori di battitura nelle consegne degli esercizi. Se uno ci pensa, non ci può credere!

Più seriamente, dovresti mostrare che esiste un solo $n=n(m)$ tale che \(2^n\le |m|<2^{n+1}\). Tale $n$ è definito come la valutazione di $m$.

Scusami megas_archon ma mi sapresti dire se quello che ho detto va bene oppure c'è qualcosa da rivedere?

[megas_archon]

Sono riuscito a fare tutto però non mi convince molto la parte della valutazione euclidea quando devo mostrare che ...

Non ti viene chiesto niente del genere, mi sembra. Ti viene chiesto di mostrare che, se la divisione $a=qb+r$ si può scegliere in modo che \(\rho r < \rho b\), allora \(|r|<|b|\).

[andreadel1988]

Non ti viene chiesto niente del genere, mi sembra. Ti viene chiesto di mostrare che, se la divisione $a=qb+r$ si può scegliere in modo che \(\rhp r < \rho b\), allora \(|r|<|b|\).

No quello l ho fatto, però in teoria per dimostrare che $rho$ è una valutazione euclidea su $ZZ$ si devono mostrare $3$ cose:
1)$rho(0)<rho(a)$ per ogni $a!=0inZZ$
2)$rho(a)<=rho(ab)$ con $b!=0$
3)Per ogni $a,binZZ$ esistono $r,qinZZ$ tale che $a=bq+r$ con $rho(r)<rho(b)$
Io appunto come ho scritto ho un dubbio sul 3)