Elemento irriducibile in $ZZ[X,Y]_(/(2xy -1))$

[andreadel1988]

Si consideri l’anello $A=ZZ[X,Y]_(/(2xy -1))$, stabilire se la classe in $A$ dell'elemento $2x^2-xy$ è irriducibile.
Abbiamo che $[2x^2-xy]=[x]*[2x-y]$ poichè $[x]$ è invertibile (l'inverso è $[2y]$) allora $[2x^2-xy]$ e $[2x-y]$ sono associati per cui mi basta mostrare che $[2x-y]$ è irriducibile. Però ora non so precisamente come mostrare che $[2x-y]$ è irriducibile (potrei prendere una generica fattorizzazione è mostrare che è banale però non so bene come procedere).

[andreadel1988]

Forse irriducibile perchè $A$ è UFD e quindi $[2x-y]_(2xy-1)$ è irriducibile se e solo se $2x-y$ è irriducibile su $K[X,Y]$ (che lo è)?

[Stickelberger]

L’elemento $2x^2-xy$ non e’ irriducibile in $A$. Infatti, si ha che

$2x^2-xy=4x^3y-xy=xy(2x-1)(2x+1)$.

Osserviamo che $x$ e $y$ sono invertibili in $A$, mentre $2x\pm 1$ sono
elementi primi e quindi irriducibili. Infatti, entrambi gli anelli $A//(2x\pm 1)$ sono
isomorfi al dominio $ZZ[\frac{1}{2}]$.

[andreadel1988]

Osserviamo che $x$ e $y$ sono invertibili in $A$, mentre $2x\pm 1$ sono
elementi primi e quindi irriducibili.

Come fai a dire che $(2xpm1)$ sono primi in $A$?