Isomorfismi tra campi finiti

[andreadel1988]

Stabilire se $\mathbb{F}_(125)[sqrt(2)]$ è isomorfo a $\mathbb{F}_(125)[sqrt(3)]$ ed $\mathbb{F}_(25)[sqrt(2)]$ è isomorfo a $\mathbb{F}_(25)[sqrt(3)]$.
Per i primi due ho notato che $\mathbb{F}_(125)$ non contiene $\mathbb{F}_(25)$ per cui i polinomio $x^2-2$ e $x^2-3$ sono irriducibili su $\mathbb{F}_(125)$ perciò $\mathbb{F}_(125)[sqrt(2)]$ e $ \mathbb{F}_(125)[sqrt(3)]$ sono entrambi isomorfi a $\mathbb{F}_(5^6)$.
Per quanto riguarda $\mathbb{F}_(25)[sqrt(2)]$ e $\mathbb{F}_(25)[sqrt(3)]$ mi da il suggerimento di determinare quante radici ha il polinomio $x^2-2$ in $\mathbb{F}_(25)[sqrt(3)]$, ma $\mathbb{F}_(25)$ sarebbe il campo di spezzamento sia di $x^2-2$ che di $x^2-3$ quindi $2$ radici (a parte che per questo in teoria sarebbe $\mathbb{F}_(25)[sqrt(2)]=\mathbb{F}_(25)[sqrt(3)]=\mathbb{F}_(25)$), quindi non capisco se sono isomorfi oppure sono uguali, se qualcuno mi chiarisse questo fatto grazie.

[andreadel1988]

Qualcuno che mi chiarisce questa cosa, grazie

[Martino]

A me sembra che tu non abbia una definizione operativa di $mathbb(F)_(25)$. Di solito se $q$ è una potenza di un primo quando si scrive $mathbb(F)_q$ si intende un qualsiasi campo con $q$ elementi. Questo non crea ambiguità perché tutti i campi di $q$ elementi sono tra loro isomorfi (e questo credo tu lo sappia).

Ora siccome $x^2-2$ e $x^2-3$ sono irriducibili in $mathbb(F)_5[x]$, i due campi $A=mathbb(F)_5[x]//(x^2-2)$ e $B=mathbb(F)_5[x]//(x^2-3)$ hanno $25$ elementi quindi sono isomorfi. Questo implica che se $F$ è un qualsiasi campo con $25$ elementi allora esistono $a,b in F$ tali che $a^2=2$ e $b^2=3$.

Poi le tue domande hanno un problema di fondo che è la notazione, il/la tuo/a docente sta usando la notazione $F[sqrt(2)]$ a sproposito, visto l'altro tuo post. Quando si scrive $F[sqrt(2)]$ si intende sempre l'anello generato da $F$ e da $sqrt(2)$ (dove $sqrt(2)$ indica un qualsiasi elemento $a$ tale che $a^2=2$ e si prende in una fissata estensione di $F$, che può essere anche lo stesso $F$) mentre a me sembra che per te e il/la docente $F[sqrt(2)]$ indichi $F[x]//(x^2-2)$, che è un oggetto completamente diverso se $x^2-2$ è riducibile in $F[x]$.

[andreadel1988]

mentre a me sembra che per te e il/la docente $F[sqrt(2)]$ indichi $F[x]//(x^2-2)$, che è un oggetto completamente diverso se $x^2-2$ è riducibile in $F[x]$.

Allora guarda io ti parlo per me, io so che se $alpha$ è una radice di $f$ irriducibile allora $F[x]//(f)$ è isomorfo a $F[alpha]$. Ora tu giustamente dici che $f$ può essere riducibile in $F[x]$, allora le cose cambiano. Però rimanendo sul nostro esempio se $F$ è il campo con $25$ elementi come hai detto sappiamo (dato che $F$ campo di spezzamento di $x^2-2$) che esiste $ainF$ tale che $a^2=2$ quindi $F[sqrt(2)]=F$ giusto? (stessa cosa $F[sqrt(3)]=F$). E quindi $F[sqrt(3)]$ e $F[sqrt(2)]$ sono isomorfi attraverso l'identità.

[Martino]

Sì io direi così, il problema è che se dici così al tuo docente ti dirà che è sbagliato perché per lui $F[sqrt(2)]$ indica il quoziente $F[x]//(x^2-2)$, che non è isomorfo a $F$ in nessun caso. È invece isomorfo a $F xx F$ se $x^2-2$ è riducibile in $F[x]$.

[andreadel1988]

$F[x]//(x^2-2)$, che non è isomorfo a $F$ in nessun caso. È invece isomorfo a $F xx F$ se $x^2-2$ è riducibile in $F[x]$.

Ah tu dici che in $F$ (campo con $25$ elementi) $x^2-2=(x-\epsilon)(x+\epsilon)$ abbiamo che gli ideali $I=(x-\epsilon)$ e $J=(x+\epsilon)$ sono primi tra loro (poichè $(x+\epsilon)-(x-\epsilon)=2\epsiloninI+J$ ma $2\epsilon$ è invertibile in quanto elemento non nullo del campo $F$ e quindi $I+J=F[X]$) e allora posso usare il teorema cinese del resto $F[x]_(/(x^2-2))cong F[x]_(/(x+\epsilon))xxF[x]_(/(x-\epsilon))congFxxF$ quindi faccio lo stesso analogo discorso per $F[x]_(/(x^2-3))congFxxF$ ma allora $F[x]_(/(x^2-2))$ è isomorfo a $F[x]_(/(x^2-3))$

[Martino]

Sì certo.

[andreadel1988]

Sì certo.

Quindi ricapitolando se $f$ è irriducibile e $alpha$ radice di $f$ allora $K[X]_(/(f))$ e $K[alpha]$ sono la stessa cosa (ovvero sono isomorfi) mentre se $f$ è riducibile su $K[X]$ allora $K[X]_(/(f))$ e $K[alpha]$ sono due cose completamente diverse (non isomorfe) e quindi non posso pensare di lavorare con una e "trasferire" gli stessi risultati all'altra, ma devo tipo ragionare separatamente.

[Martino]

Sì concordo con quanto dici, ma il tuo docente non concorderebbe.

[andreadel1988]

Sì concordo con quanto dici, ma il tuo docente non concorderebbe.

Allora io non so precisamente se questi esercizi li abbia scritti lui o un prof precedente, però in caso come faccio?
Ce ad essempio io ho trovato questo nelle dispense: