Esercizio ideali e funzioni

[Desirio]

Sia $A = \mathbb{R}^{\mathbb{R}}$ l'anello delle funzioni reali a valori reali. Sia $B = {f \in A | f(\mathbb{Q}) \subseteq \mathbb{Q}}$.
Sia $I = {f \in B | f(r) = 0, \forall r \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}}$ e $J = { f \in B | f(\sqrt{2}) = 0 }$.

Devo mostrare che $B/J$ è un campo e che $J/I$ è un ideale massimale di $B/I$.
Ho mostrato che $I, J$ sono ideali di $B$ - sono non vuoti, soddisfano la proprietà assorbente e sono chiusi rispetto alla somma -.

Inoltre se $f \in I$ allora $f \in J$ e quindi $I \subseteq J$ e quindi per il teorema di corrispondenza $J/I$ è un ideale di $B/I$.

1) Come faccio a mostrare che è massimale?
2) E come faccio a dimostrare che $B/I$ è un campo ?
Volevo provare a dimostrare che tutti gli elementi diversi da zero di $B/I$ ammettevano inverso ma non riesco a capire come sono fatti gli elementi di $B/I$.

Cioè $B/I = { f + I | f \in B}$.

Ma detto questo non capisco come andare avanti ..

[megas_archon]

Come faccio a mostrare che è massimale?

Se c'è un ideale di \(B/I\) che contiene \(J/I\)... e allora...

E come faccio a dimostrare che \(B/I\) è un campo?

Non è B/I a essere un campo infatti (hai appena mostrato che ha un ideale non banale); è \(B/J\); del resto, \(\frac{B/I}{J/I}\cong \frac{B}{\not I}\frac{\not I}{J}\cong B/J\) è un campo, perché le frazioni si semplificano e l'ideale \(J/I\) è massimale in \(B/I\).

[Desirio]

Come faccio a mostrare che è massimale?

Se c'è un ideale di \(B/I\) che contiene \(J/I\)... e allora...

E come faccio a dimostrare che \(B/I\) è un campo?

Non è B/I a essere un campo infatti (hai appena mostrato che ha un ideale non banale); è \(B/J\); del resto, \(\frac{B/I}{J/I}\cong \frac{B}{\not I}\frac{\not I}{J}\cong B/J\) è un campo, perché le frazioni si semplificano e l'ideale \(J/I\) è massimale in \(B/I\).

Scusa volevo scrivere $B/J$ è un campo .... Ma appunto non ti seguo, come faccio a dimostrare che è un campo $B/J$?

[Desirio]

Come faccio a mostrare che è massimale?

Se c'è un ideale di \(B/I\) che contiene \(J/I\)... e allora...

E come faccio a dimostrare che \(B/I\) è un campo?

Non è B/I a essere un campo infatti (hai appena mostrato che ha un ideale non banale); è \(B/J\); del resto, \(\frac{B/I}{J/I}\cong \frac{B}{\not I}\frac{\not I}{J}\cong B/J\) è un campo, perché le frazioni si semplificano e l'ideale \(J/I\) è massimale in \(B/I\).

Per mostrare che $B/J$ è un campo devo mostrare che ogni $f + J \ne 0 + J$ e quindi per ogni $f \in B$ con $f(\sqrt{2}) \ne 0$ allora esiste una funzione $k \in B$ tale che $fk + J = 1 + J$..... Ma non riesco a trovarla...

Ad esempio se prendo $f(x) = 1$ se $x = \sqrt{2}$ e $f(x) = 0$ altrimenti questa funzione $f \not\in J$ e $f \in B$.
Ma non riesco a trovare una funzione $k(x) \in B$ tale che $f(x)k(x) + J = 1 + J$...... Dove sbaglio ?

[megas_archon]

Ci sono modi più intelligenti di mostrare che un anello quoziente è un campo. Se (e solo se) la cosa per cui quozienti è massimale, il quoziente è un campo, perché la massimalità è equivalente ad affermare che ogni elemento non nullo nel quoziente è invertibile.

[Pibo85]

Se $f \in B/J$ allora $f(\sqrt 2) \ne 0$. Quindi se $g \in B$ allora $g = kf+g-kf$ con $k=g(\sqrt {2})/f(\sqrt{2})$ e abbiamo $g-kf \in J$.
Quindi $f+J = B$ e da questo segue che $J$ è massimale in $B$.
Tutto il resto viene dalle proprietà fondamentali.
$J$ massimale implica che $B/J$ è un campo. Ma $B/J$ è isomorfo a $B/I / J/I$ quindi $J/I$ è massimale in $B/I$

[Stickelberger]

@Pibo85 Non mi e’ chiaro che $kf$ sta in $B$. Perche’ $kf(QQ)\subset QQ$?

L’ideale $J$ di $B$ e’ massimale se e solo se $B//J$ e’ un campo.
Per dimostrare che $B//J$ e’ un campo, basta inventare un campo $k$ e
un omomorfismo suriettivo $\phi:B\rightarrow k$ con nucleo uguale a $J$.

Scelgo $k=RR$ e definisco $f:B\rightarrow RR$ tramite $\phi(f)=f(sqrt(2))$.

Allora, $\phi$ e’ un omomorfismo di anelli. Il nucleo di $\phi$ e’ $J$ per
definizione di $J$. Per dimostrare la suriettivita’ di $\phi$,
sia $t\in RR$. Allora la funzione $f\in B$ definita da

$f(x)=0$ per $x\in QQ$ mentre $f(x)=t$ per $x\in RR-QQ$

ha la proprieta’ che $\phi(f)=t$. Qua uso che $\sqrt{2}$ non sta in $QQ$.