Anello $A=ZZ[i]_(/(2 + i))$

[andreadel1988]

Consideriamo l’anello $A=ZZ[i]_(/(2 + i))$. Determinare, se esiste, un omomorfismo di anelli $ZZ_(/25)->A$ e determinare se esiste, un omomorfismo di anelli, $\mathbb{F}_{25}->A$.
Allora intanto ho notato che $ZZ[i]_(/(2 + i))={[0]_(2+i),[1]_(2+i),[i]_(2+i),[-i]_(2+i),[-1]_(2+i)}$ per cui l'omomorfismo da $ZZ_(/25)$ ad $A$ l'ho fissato come:
$[0]_(25),[5]_(25),[10]_(25),[15]_(25),[20]_(25)->[0]_(2+i)$;
$[1]_(25),[6]_(25),[11]_(25),[16]_(25),[21]_(25)->[1]_(2+i)$;
$[2]_(25),[7]_(25),[12]_(25),[17]_(25),[22]_(25)->[i]_(2+i)$;
$[3]_(25),[8]_(25),[13]_(25),[18]_(25),[23]_(25)->[-i]_(2+i)$;
$[4]_(25),[9]_(25),[14]_(25),[19]_(25),[24]_(25)->[-1]_(2+i)$;
Mentre per l'omomorfismo da $\mathbb{F}_{25}$ (pensato come ad esempio $ZZ_(/5)[sqrt(2)]$) ad $A$ non esiste infatti se esistesse tale omomorfismo $phi$, allora $phi^2([sqrt(2)]_5)=phi([2]_5)$ ma gli unici quadrati di $A$ sono $[0]_(2+i),[1]_(2+i),[-1]_(2+i)$ e poichè un omomorfismo tra campi è tale che fissa $0$ in $0$ e $1$ in $1$ ed $[2]_5!=[0]_5,[1]_5$ rimarrebbe solo $phi([2]_5)=[-1]_(2+i)$ ma allora si avrebbe $phi([4]_5)=[1]_(2+i)$ assurdo poichè $[4]_5!=[1]_5$. Può andar bene?

[Stickelberger]

Mi sembra ok.

Alternativamente si potrebbe osservare che la mappa naturale
$f: ZZ\rightarrow ZZ[i]//(2+i)$ data da $f(k)=[k]_{2+i}$ per $k\in ZZ$
ovviamente e’ un omomorfismo. Poiche’ $25$ sta nel nucleo di $f$, esiste
un unico omomorfismo $f’:ZZ//(25)rightarrow ZZ[i]//(2+i)$
con la proprieta’ che $f’([k]_{25})=[k]_{2+i}$.

Per la seconda domanda: siccome $\mathbb F_{25}$ e’ un campo, ogni omomorfismo
$\mathbb F_{25}\rightarrow ZZ[i]//(2+i)$ deve essere iniettivo.
Ma $ZZ[i]//(2+i)$ ha solo cinque elementi, e quindi questo non e’ possibile.