Diofantea con soluzioni positive

[Pibo85]

Mi aiutate con questo problema che mi sta arrovellando da un po' ma di cui non riesco a formalizzare la soluzione? Forse mi sto perdendo e non riesco a vedere la soluzione banale.

Smentire o dimostrare la seguente:
Siano \(\displaystyle a, b \in \mathbb{N}\) primi tra loro e positivi. Allora se \(\displaystyle c \geq ab \) l'equazione \(\displaystyle an+bm = c\) ammette sempre soluzioni con \(\displaystyle n, m \in \mathbb{N}\) e \(\displaystyle n, m\geq 0\).

Da Eulero sappiamo che esiste sempre soluzione particolare \(\displaystyle x_0 \) e \(\displaystyle y_0 \) all'equazione \(\displaystyle ax+by=1 \) e dato che $a$ e $b$ sono positivi abbiamo \(\displaystyle x_0y_0 < 0 \).
Supponiamo senza perdere generalità che \(\displaystyle y_0 <0 \) e poniamo \(\displaystyle n_0 = |x_0| \) e \(\displaystyle m_0 = |y_0| \).
La soluzione generale dell'equazione originale è \(\displaystyle cn_0+kb, -cm_0+ka\) con \(\displaystyle k \in \mathbb Z \).
Imponendo le condizioni di positività dovremmo avere \(\displaystyle k < cn_0/b \) e \(\displaystyle k > cm_0/b \). Non riesco da queste disequazioni ad ottenere l'esistenza di un k considerando che \(\displaystyle c \geq ab \).

Qualche suggerimento?

[Martino]

Ciao, le condizioni sono $k le cn_0//b$ e $k ge cm_0//a$.

Quindi bisogna trovare $k$ intero tale che

$cm_0//a le k le cn_0//b$

Ovviamente questo $k$ esiste se

$cn_0//b-cm_0//a ge 1$

Questo è equivalente a

$c = cn_0 a -cm_0 b ge ab$