Calcolare il numero di funzioni ingettive

[michele_7483]

Salve, vi sottopongo il seguente esercizio svolto, vorrei sapere se lo svolgimento è corretto ed eventuali metodi di risoluzione alternativi:

Dati gli insiemi $A=\{3,4,5\}$ e $B=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$, quante sono le funzioni $f:A\rightarrow B$ che soddisfano le seguenti condizioni:

1) $f$ è ingettiva
2) $\forall a \in A \quad f(a)>a $

Svolgimento:

Posto $f(A)=\{x,y,z\}$ con $x \ne y \ne z$ distinguiamo quattro casi:

a) $x,y,z \in \{6,7,8,9\}$

Allora la condizione 2 è soddisfatta in ogni caso e abbiamo $4\cdot 3 \cdot 2 = 24$ terne ordinate senza ripetizione $(x,y,z)$, dunque $24$ funzioni

b) $x=4 \wedge y,z \in \{6,7,8,9\}$

Allora deve essere necessariamente $f(3)=4$ per la condizione 2 e si hanno a disposizione $4\cdot 3=12$ modi di scegliere $y$ e $z$, dunque $12$ funzioni

c) $x=5 \wedge y,z \in \{6,7,8,9\}$

Allora, se $f(3) = 5$, con ragionamento analogo al caso precedente, abbiamo $12$ funzioni, e altrettante se invece $f(4)=5$ per un totale di $24$ funzioni

d) $x=4, y=5 \wedge z \in \{6,7,8,9\}$

Allora deve essere necessariamente $f(3)=4 \wedge f(4)=5$ e abbiamo $4$ possibili scelte per $z$ dunque $4$ funzioni

Pertanto il totale delle funzioni che soddisfano le condizioni date è di $64$.

[hydro]

a) $x,y,z \in \{6,7,8,9\}$

Allora la condizione 2 è soddisfatta in ogni caso e abbiamo $4\cdot 3 \cdot 2 = 24$ terne ordinate senza ripetizione $(x,y,z)$, dunque $24$ funzioni

\(\binom{4}{3}=4\ne 24\).

[michele_7483]

a) $x,y,z \in \{6,7,8,9\}$

Allora la condizione 2 è soddisfatta in ogni caso e abbiamo $4\cdot 3 \cdot 2 = 24$ terne ordinate senza ripetizione $(x,y,z)$, dunque $24$ funzioni

\(\binom{4}{3}=4\ne 24\).

Le combinazioni sono 4 ma ciascuna di esse produce 6 funzioni distinte, ad esempio dalla combinazione $\{6,7,8\}$ si ha:

$f_1=\{(3,6),(4,7),(5,8)\}$
$f_2=\{(3,6),(4,8),(5,7)\}$
$f_3=\{(3,7),(4,6),(5,8)\}$
$f_4=\{(3,7),(4,8),(5,6)\}$
$f_5=\{(3,8),(4,6),(5,7)\}$
$f_6=\{(3,8),(4,7),(5,6)\}$

[hydro]

ah hai ragione, ho letto male io.