Applicazioni della teoria dell'azione di un gruppo su un insieme

[GBX1]

Buongiorno,
studiando la teoria dell'azione di un gruppo su un insieme mi sono imbattuto in problemi del tipo:
<<Studiare in quanti modi diversi si possono distribuire n persone attorno ad un tavolo circolare>>, oppure:
<<Studiare in quanti modi diversi si possono disporre n palline di r colori in una collana>>, e simili.
Per risolvere questi problemi si ricorre alla determinazione delle orbite e all'applicazione del teorema di Burnside, usando un opportuno gruppo (da determinare caso per caso) che agisce sull'insieme delle configurazioni possibili.
Allora mi sono posto due domande:
1. Anche se vagamente lo intuisco, non mi è del tutto chiaro perché si utilizzi il concetto di orbita, che è una classe di equivalenza formata dagli elementi di un insieme definiti da y = gx (dove $ gin G $ e $ x, y in X $ , in cui G è il gruppo che agisce sull'insieme X). Mi sono dato questa spiegazione: in questo tipo di problemi, la sola analisi combinatoria non basta, perché alcune combinazioni sono equivalenti tra di loro; le orbite identificano queste combinazioni equivalenti (essendo classi di equivalenza), e quindi la soluzione di questi problemi deve passare attraverso di loro. Spiegazione "discorsiva", che non mi convince molto, e per questo chiedo aiuto in questo forum.
2. Ci sono criteri generali per la scelta del gruppo, in relazione ad un certo problema? Si usano spesso gruppi diedrali, o simmetrici, o altri, ma non viene mai spiegato perché si usa proprio quel determinato gruppo e non un altro.
Grazie per l'attenzione.

[Martino]

Ciao, per capire quello di cui stai parlando è meglio se riporti un esempio dall'inizio alla fine. Cioè ti consiglio di scrivere i dettagli matematici di uno dei due problemi esempio che hai riportato.

[ghira]

Hai provato a googlare "Burnside Necklace"? C'è un sacco di roba in giro.

Per esempio https://crypto.stanford.edu/~blynn/polya/ e https://almostsurelymath.blog/2019/09/18/necklaces-and-groups-the-burnside-lemma/ e varie cose su stackexchange.

[GBX1]

Grazie ghira, il secondo riferimento è molto interessante, ed ha chiarito la mia prima domanda.