Parte della dimostrazione della corrispondenza di Galois

[andreadel1988]

Volevo capire se mi era chiara questa parte della dimostrazione della corrispondenza di Galois:
Sia $L$ un estensione normale di $K$, $F$ un campo intermedio e definiamo $L^H={alphainL| h(alpha)=alpha, AAhinH}$ con $H$ sottogruppo di $Gal(L//K)$.
Noi sappiamo che $r=|Gal(L//F)|=[L:F]$. Ora se $betainF$ abbiamo che $h(beta)=beta$ per ogni $hinGal(L//F)$ (questo per definizione di $Gal(L//F)$) e siccome $L^(Gal(L//F))={alphainL| h(alpha)=alpha, AAhinGal(L//F)}$ allora $betainL^(Gal(L//F))$ per cui $FsubeinL^(Gal(L//F))$. Per il lemma della torre si ha quindi che $[L:L^(Gal(L//F))]|[L:F]$ e quindi $[L:L^(Gal(L//F))]<=r$. Ora se però prendiamo $alphainL^(Gal(L//F))$ sappiamo che tutti gli elementi di $Gal(L//F)$ fissano $alpha$ perciò $[L:L^(Gal(L//F))]=|Gal(L//L^(Gal(L//F)))|>=|Gal(L//F)|=r$. Perciò mettendo insieme le due cose $[L:L^(Gal(L//F))]=r$ da cui $F=L^(Gal(L//F)$.
Se c'è qualcosa che non va bene o da dire meglio ditemi, grazie

[Martino]

Sì giusto ma naturalmente la parte difficile del discorso è mostrare che

$|Gal(L//F)|=[L:F]$