Se qualcuno sa rispondere a questa domanda si può fermare nella lettura del messaggio. Di seguito rinfresco i concetti ed espongo una mezza idea che sto provando a seguire, ma che non funziona. Siamo nel contesto della teoria delle categorie, prendiamo $\mathcal{A}$ una categoria abeliana (parliamo solo di categorie abeliane)
Sia $f:A\rightarrow B$ una mappa, è definito il coker$(f)$ come un oggetto di $\mathcal{A}$, diciamo $X$, e una mappa $\gamma:B\rightarrow X$, tale che la composizione $A\overset{f}{rightarrow} B\overset{\gamma}{rightarrow} X$ sia nulla, inoltre per ogni mappa $g:B\rightarrow C$ tale che $g\circ f=0$ esiste una UNICA $h$ che fa commutare il seguente diagramma
L'unicità di questa $h$ EQUIVALE a dire che $\gamma$ è un epimorfismo (generalizzazione di "surgettiva", per i comuni mortali come me). Ciò detto, se ho un funtore esatto a destra $F:\mathcal{A}\rightarrow\mathcal{B}$ succede che questo diagramma si trasporta correttamente da $\mathcal{A}$ a $\mathcal{B}$
In particolare otteniamo che la composizione $F(A)\overset{F(f)}{rightarrow} F(B)\overset{F(\gamma)}{rightarrow} F(X)$ rimane 0, perché $F$ è un funtore tra categorie abeliane, $F(\gamma)$ rimane un epimorfismo, per definizione di esattezza a destra, quindi se c'è un sollevamento di $F(g)$ questo non può che essere $F(h)$. Il problema è proprio qua: l'esistenza del sollevamento! Per dire che $F(X)$ è il coker di $F(f)$ devo verificare che per ogni mappa $t:F(B)\rightarrow T$ nella categoria $\mathcal{B}$ esiste una unica $s:F(X)\rightarrow T$ tale che il diagramma commuti
Ripeto, l'unicità si trasporta, ma l'esistenza chi me l'assicura?
Uno potrebbe ragionare in termini di sottocategorie e restringersi prima alla sottocategoria "immagine di $F$" che eredita l'abelianità dalla categoria $\mathcal{B}$ e poi sfruttare l'unicità del coker. Ma anche questo non è ovvio, infatti partendo dal secondo diagramma che ho messo non basta a dimostrare che la sottocategoria "immagine di $F$" sia abeliana, poiché potrebbero esserci mappe $g$ tali che $g\circ f\ne 0$ ma $F(g)\circ F(f)=0$ e allora, ancora una volta, non potremmo ricavare l'esistenza di $s$ partendo da quella di $h$ in $\mathcal{A}$
