Determinare il numero di funzioni e di omomorfismi

[michele_7483]

Quante sono le funzioni $f:\mathbb{Z_{40}} \rightarrow \mathbb{Z_{60}}$ tali che $f([0]_{40}) = [0]_{60}$ e $f([1]_{40})=[1]_{60}$? Quante tra esse sono omomorfismi di gruppi additivi?

1) Tolti gli elementi $[0]_{40}$ e $[1]_{40}$, per assegnare un elemento di $\mathbb{Z_{60}}$ a ciascuno dei restanti 38 elementi di $\mathbb{Z_ {40}}$ si hanno a disposizione 60 scelte possibili, quindi il numero delle funzioni è
\[60^{38}\]
2) Nessuna di esse è un omomorfismo tra gruppi additivi perché $o([1]_{60})=60$ non divide $|\mathbb{Z_{40}}|=40$.
Infatti il numero di omomorfismi tra un gruppo ciclico $G$ di ordine n e un gruppo qualsiasi $H$ è uguale al numero di elementi di $H$ il cui periodo divide n.

E' corretto?
Grazie

[Martino]

Sì