Sia $x^5-9x^4-3x^2+3inQQ[x]$ e sia $beta$ una radice di tale polinomio. Mi dice di mostrare che $QQ(beta)=QQ(beta^2)$ e trovare il polinomio minimo di $beta^2$ su $QQ$.
Allora io ho fatto così:
$QQ(beta^2)subeQQ(beta)$ è triviale ($beta^2=(beta)^2inQQ(beta)$).
Poi ho preso $f(x)=9x^2+3x-3$ e $g(x)=x^2$ in $QQ[x]$, intanto osservo che $g(beta^2)!=0$ altrimenti $beta=0$, assurdo dato che $x^5-9x^4-3x^2+3$ è irriducibile in $QQ$ (per Eisenstein), per cui $beta=f(beta^2)/g(beta^2)inQQ(beta^2)$ per cui $QQ(beta)subeQQ(beta^2)$ e quindi $QQ(beta^2)=QQ(beta)$. Poi ho notato che siccome $beta$ è algebrico su $QQ$ allora $QQ(beta)$ è un estensione finita su $QQ$ ma allora anche $QQ(beta^2)$ lo è (in quanto sono uguali) e quindi $beta^2$ è algebrico su $QQ$. Il polinomio minimo di $beta^2$ su $QQ$ è $x^5-81x^4-54x^3+45x^2+18x-9$. Può andar bene?