punti razionali di una curva

[pigrecoedition]

La curva $\mathcal{C}:H(x,y)=0$, dove
$H(x,y)=2x^4+x^2y^2+2y^4+2x^2+xy+y^2+1,$
ha punti razionali su $\mathbb{F}_{27}$?
Purtroppo qui non posso applicare il bound di Hasse-Weil. C'è un altro modo per capire se ci sono o meno punti razionali?

[hydro]

C'è qualcosa di sbagliato in quell'equazione secondo me.

[pigrecoedition]

C'è qualcosa di sbagliato in quell'equazione secondo me.

ho riscritto l'equazione

[hydro]

La curva $\mathcal{C}:H(x,y)=0$, dove
$H(x,y)=2x^4+x^2y^2+2y^4+2x^2+xy+y^2+1,$
ha punti razionali su $\mathbb{F}_{27}$?
Purtroppo qui non posso applicare il bound di Hasse-Weil. C'è un altro modo per capire se ci sono o meno punti razionali?

Usare un software per il calcolo simbolico. Alternativamente, prendi $i$ una radice di $-1$ in $\overline{\mathbb{F}}_3$, sostituisci $x+iy=t$ e $x-iy=z$ e trovi una forma più piacevole, ovvero $t^2z^2+ (i+2)t^2+(2i+2)z^2+2=0$. Ora riconosci che questo fattorizza come $(z^2+i+2)(t^2+2i+2)=0$. Siccome $(2i+2)(i+1)=2(i+1)^2$ che è un quadrato in $\mathbb F_3(i)$, quel prodotto si fattorizza ulteriormente in $\mathbb F_{3^4}=\mathbb F_3(i,\sqrt{i+1})$. Risostituendo, vedrai che il polinomio che definisce la tua curva spezza in 4 fattori lineari su $\mathbb F_{3^4}$, e dalla forma di questi fattori, insieme al fatto che non ci sono punti su $\mathbb F_3$, è semplice dedurre che non ci sono punti su $\mathbb F_{3^3}$.

[pigrecoedition]

La curva $\mathcal{C}:H(x,y)=0$, dove
$H(x,y)=2x^4+x^2y^2+2y^4+2x^2+xy+y^2+1,$
ha punti razionali su $\mathbb{F}_{27}$?
Purtroppo qui non posso applicare il bound di Hasse-Weil. C'è un altro modo per capire se ci sono o meno punti razionali?

Usare un software per il calcolo simbolico. Alternativamente, prendi $i$ una radice di $-1$ in $\overline{\mathbb{F}}_3$, sostituisci $x+iy=t$ e $x-iy=z$ e trovi una forma più piacevole, ovvero $t^2z^2+ (i+2)t^2+(2i+2)z^2+2=0$. Ora riconosci che questo fattorizza come $(z^2+i+2)(t^2+2i+2)=0$. Siccome $(2i+2)(i+1)=2(i+1)^2$ che è un quadrato in $\mathbb F_3(i)$, quel prodotto si fattorizza ulteriormente in $\mathbb F_{3^4}=\mathbb F_3(i,\sqrt{i+1})$. Risostituendo, vedrai che il polinomio che definisce la tua curva spezza in 4 fattori lineari su $\mathbb F_{3^4}$, e dalla forma di questi fattori, insieme al fatto che non ci sono punti su $\mathbb F_3$, è semplice dedurre che non ci sono punti su $\mathbb F_{3^3}$.

Scusa il fatto che $(2i+2)(i+1)=2(i+1)^2$ è un quadrato in $\mathbb F_3(i)$ ti serve per dire che $i$ è un quadrato di $\mathbb F_3(i)$ e quindi $i+1$ è un non quadrato di $\mathbb{F}_3(i)$?

[hydro]

La curva $\mathcal{C}:H(x,y)=0$, dove
$H(x,y)=2x^4+x^2y^2+2y^4+2x^2+xy+y^2+1,$
ha punti razionali su $\mathbb{F}_{27}$?
Purtroppo qui non posso applicare il bound di Hasse-Weil. C'è un altro modo per capire se ci sono o meno punti razionali?

Usare un software per il calcolo simbolico. Alternativamente, prendi $i$ una radice di $-1$ in $\overline{\mathbb{F}}_3$, sostituisci $x+iy=t$ e $x-iy=z$ e trovi una forma più piacevole, ovvero $t^2z^2+ (i+2)t^2+(2i+2)z^2+2=0$. Ora riconosci che questo fattorizza come $(z^2+i+2)(t^2+2i+2)=0$. Siccome $(2i+2)(i+1)=2(i+1)^2$ che è un quadrato in $\mathbb F_3(i)$, quel prodotto si fattorizza ulteriormente in $\mathbb F_{3^4}=\mathbb F_3(i,\sqrt{i+1})$. Risostituendo, vedrai che il polinomio che definisce la tua curva spezza in 4 fattori lineari su $\mathbb F_{3^4}$, e dalla forma di questi fattori, insieme al fatto che non ci sono punti su $\mathbb F_3$, è semplice dedurre che non ci sono punti su $\mathbb F_{3^3}$.

Scusa il fatto che $(2i+2)(i+1)=2(i+1)^2$ è un quadrato in $\mathbb F_3(i)$ ti serve per dire che $i$ è un quadrato di $\mathbb F_3(i)$ e quindi $i+1$ è un non quadrato di $\mathbb{F}_3(i)$?

No, serve per dire che entrambi i fattori sono irriducibili in $\mathbb F_3(i)$.