Prodotto wedge e lineare indipendenza

[Cannelloni]

Buonasera, ho problemi con le definizioni base del prodotto wedge
Se $M$ è un $A$-modulo libero finitamente generato, diciamo $M=A^r$, sappiamo che anche $\bigwedge^nM$ è libero su $A$, in particolare, se $\{e_1,\ldots,e_r\}$ è una base di $M$ allora $\{e_{i_1}\wedge\ldots\wedge e_{i_n}|1\leq i_1<i_2<\ldots<i_n\leq r\}$ è una base di $\bigwedge^nM$.
Il fatto che quell'insieme generi mi torna, non capisco perché sia libero, cioè, perché gli elementi siano linearmente indipendenti!
Già che ci siamo vi pongo questa altra domanda. Ma se $n>r$ il prodotto wedge è zero? Almeno nel caso di $M$ libero mi sembra una conclusione corretta. In generale se un modulo, anche non libero, è finitamente generato da $r$ elementi mi sembra di poter concludere che $\bigwedge^nM=0$ per $n>r$.

[megas_archon]

Il fatto che quell'insieme generi mi torna, non capisco perché sia libero, cioè, perché gli elementi siano linearmente indipendenti!

Hai un insieme di vettori in uno spazio vettoriale (o quasi): come dimostri che sono linearmente indipendenti?

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Supponi di sapere che \(\sum \alpha_{i_1\dots i_n} (e_{i_1}\land \dots\land e_{i_n})=0\) per \(1\le n\le r\) (altrimenti di vettori non nulli in \(\bigwedge^n M\) semplicemente non ne trovi, perché il quoziente \(TM/\langle v\otimes v=0\rangle\) è zero, come potrai facilmente notare da solo, rispondendo così alla tua seconda domanda). Praticamente per definizione di \(\bigwedge^n M\), puoi identificare \(e_{i_1}\land \dots\land e_{i_n}\) a una forma $n$-lineare alternante \(M\times \dots M \to A\), che quindi puoi valutare sulla tupla di vettori \(e_{j_1},\dots, e_{j_n}\), sulla quale vale \(\prod_k\delta_{i_kj_k}\); ma allora \(\sum \alpha_{i_1\dots i_n} (e_{i_1}\land \dots\land e_{i_n})(e_{j_1},\dots, e_{j_n})=\alpha_{j_1\dots j_n}=0\). Ripeti per ogni elemento dell'insieme \(\binom r n\), e tutti a a casa.

[Cannelloni]

Tempo fa seguii un corso in cui si usava come definizione del prodotto wedge l'insieme delle mappe alternanti (che poi erano fondamentalmente dei determinanti) che è l'identificazione che usi te. Sotto questa luce, con questa struttura, mi torna, ma in questo corso abbiamo definito il prodotto wedge solo come il prodotto tensore quozientato per $\langle v_1\otimes\ldots\otimes v_n|\exists i,j\text{ t.c. } v_i=v_j\rangle$ dando anche la proprietà universale di fattorizzazione. Con questa definizione come si dimostra l'indipendenza lineare? Oppure come si ricava l'identificazione con lo spazio delle mappe alternanti partendo dal quoziente del prodotto tensore?

[megas_archon]

come si ricava l'identificazione con lo spazio delle mappe alternanti partendo dal quoziente del prodotto tensore?

Nello stesso modo in cui si dimostra ogni identificazione naturale: mostrando che lo spazio delle mappe alternanti ha la proprietà universale del quoziente dell'algebra tensoriale.