Caratterizzazione ciclici

[Aleacqua]

Penso di aver visto un teorema che dice qualcosa di simile.

G ciclico <=> Per ogni n tale che n | |G| esiste un unico sottogruppo di G di cardinalità n

Non riesco a fare nessuna delle due frecce oggi disastro

[vict85]

Ti invito a mostrare qualche tuo tentativo (come previsto dal Regolamento e ad usare le formule.

Ti invito ad incominciare supponendo che \(G\) sia ciclico dato che è la direzione più facile. Prova ad identificare quei sottogruppi in \(\mathbf{Z}_{42}\) e vedrai che capirai come risolvere il caso generale. Il caso contrario è un po' più tecnico e necessita di usare la funzione totiente di Eulero.

[Aleacqua]

Ok scusate sono nuovo penso di aver fatto una implicazione.
(Chiaramente mi sono dimenticato nelle ipotesi G finito)
Comunque tornando a noi.

Siano H,K $<=$ G t.c. |H|=|K|=d $=>$ HK=KH e H,K,HK ciclici, perchè G ciclico.
Inoltre |HK|=$(|H||K|)/(|H|nn|K|)$
$=>$ p.a. d$<$|HK| $=>$ $EE$ x$in$ H$vv$K t.c. d$<$o(x) ASSURDO.
$=>$ |HK|=d $=>$ H=K.

Spero di essere stato chiaro e che si capisca.

[Aleacqua]

Ok scusate sono nuovo penso di aver fatto una implicazione.
(Chiaramente mi sono dimenticato nelle ipotesi G finito)
Comunque tornando a noi.

Siano H,K $<=$ G t.c. |H|=|K|=d $=>$ HK=KH e H,K,HK ciclici, perchè G ciclico.
Inoltre |HK|=$(|H||K|)/(|H|nn|K|)$
$=>$ p.a. d$<$|HK| $=>$ $EE$ x$in$ H$vv$K t.c. d$<$o(x) ASSURDO.
$=>$ |HK|=d $=>$ H=K.

Spero di essere stato chiaro e che si capisca.