Ciao. Provo a risponderti formalmente (visto che mi pare sia ciò che cerchi). Spero di non apparire troppo pignolo
Credo che tu sappia che per definire un insieme \(\displaystyle A \)di solito si scrive una proprietà che individua tutti e soli i suoi elementi. Va anche osservato che c'è sempre un ambiente \(\displaystyle X \) dentro il quale si costruiscono gli insiemi. Dunque per definire \(\displaystyle A \) si considera una "proprietà" \(\displaystyle P(x) \) che al variare di \(\displaystyle x \) in \(\displaystyle X \) può essere vera o falsa e si pone \(\displaystyle A:=\{a\in X\,:\, P(a)\} \).
Nota che dentro \(\displaystyle P \) c'è una variabile il cui nome non è importante: se \(\displaystyle B:=\{b\in X\,:\, P(b)\} \) \(\displaystyle A \) e \(\displaystyle B \) sono lo stesso insieme. Per esempio \(\displaystyle P(x) =\)"\(\displaystyle x \) ha quatto zampe" con \(\displaystyle X =\) tutti gli animali terrestri. Se \(\displaystyle P \) non ha variabili (tecnicamente \(\displaystyle P \)
è una proposizione che può essere vera o falsa), allora \(\displaystyle a\,:\, P \) è eguale a tutto \(\displaystyle X \) se \(\displaystyle P \) è vera ed è eguale all'insieme vuoto se \(\displaystyle P \) è falsa. Per esempio
\(\displaystyle \{a\,:\, \mbox{"il leone ha quattro zampe"}\} \) sono tutti gli animali terrestri mentre
\(\displaystyle \{a\,:\, \mbox{"il leone ha quattro zampe"}\} \) è vuoto.
D'altra parte potresti mettere più di una variabile in \(\displaystyle P \) e allora la definizione non sarebbe fondata: per esempio
\(\displaystyle \{ a\,:\, a \mbox{ ha } b \mbox{ zampe}\}\) è sintatticamente sbagliato. In questo caso la definizione dipende dal valore delle varabili in eccesso. Dunque potresti scrivere \(\displaystyle A_b:=\{a\,:\, x\mbox{ ha }b\mbox{ zampe}\} \) e in questo modo hai definito \(\displaystyle A_0,A_1,A_2,\dots \)
Ricordiamo anche che ogni quantificatore "uccide" una variabile: se \(\displaystyle P(x,y) \) è una proprietà dipendente da due variabili, allora \(\displaystyle Q_1(x)=\forall yP(x,y) \) e \(\displaystyle Q_2(x)=\exists yP(x,y) \) dipendono solo da una variabile mentre \(\displaystyle \forall x\forall y P(x,y) \), \(\displaystyle \forall x\exists y P(x,y) \), \(\displaystyle \exists x\forall y P(x,y) \), \(\displaystyle \exists x\exists y P(x,y) \) sono tutte proposizioni (che dunque sono vere o false di per sé).
Veniamo ora al tuo caso. Tu hai una "proprietà" del genere
\(\displaystyle P(\vec{r},\vec{a},\vec{b},n,m)=\mbox{``}\vec{r}=n\vec{a}+m\vec{b}\mbox{''}\)
dove \(\displaystyle \vec{r},\vec{a},\vec{b} \) variano nel piano, mentre \(\displaystyle n,m \) variano tra gli interi relativi. Direi che è chiaro che \(\displaystyle \vec{a},\vec{b} \) sono due parametri pre assegnati per cui il reticolo sarà\(\displaystyle \)
\(\displaystyle \mathcal{R}_{\vec{a},\vec{b}}:=\{\vec{r}\,:\,\exists n\exists m P(\vec{r},\vec{a},\vec{b},n,m)\} \)
Volendo si può dare la definizione di nodo dicendo
\(\displaystyle \vec{r} \) è un nodo se esistono \(\displaystyle n,m \) per cui \(\displaystyle P(\vec{r},\vec{a},\vec{b},n,m)\} \). Chiamo reticolo l'insieme di tutti i nodi.
Quando io leggo la tua frase:
>>Definito l'insieme "reticolo" potrei dire che un nodo appartiene a tale insieme se e solo se ∃n,m∈Z per cui r⃗ =na⃗ +mb⃗
rimango
bloccato dal fatto che \(\displaystyle \vec{r} \) è una variabile indefinita (tu volevi dire il reticolo è fatto dai nodi e che \(\displaystyle \vec{r} \) è un nodo se...). Quando ti ho chiesto "cosa intendi con nodo<=>" il problema non era il "<=>" ma il fatto che mi aspettavo una cosa tipo "\(\displaystyle \vec{r} \) è un nodo <=>" seguito da una \(\displaystyle P(\vec{r}) \). In sostanza mi sarei aspettato
\(\displaystyle \vec{r} \) è un nodo <=> \(\displaystyle P(\vec{r}) \)
Invece tu avevi scritto
>>"nodo <=> (Per ogni n,m∈Z esiste r t.c r=na+mb) ∧ (per ogni r esistono n,m∈Z t.c r=na+mb)"
A sinistra del <=> c'è scritto solo "nodo". A destra ci sono due proposizioni collegate da ∧ (è un and ?) Che siano due proposizioni segue dal fatto che \(\displaystyle a \) e \(\displaystyle b \) sono due costanti pre assegante mentre \(\displaystyle r,n,m \) sono quantificate. Dunque non ci sono variabili libere a destra di <=> per cui non riesco a interpretare quanto scritto a destra come una definizione. Se vai a vedere nel dettaglio hai che
>>(Per ogni n,m∈Z esiste r t.c r=na+mb)
è un'affermazione vera dato che presi \(\displaystyle n \) ed \(\displaystyle m \) la somma \(\displaystyle na+mb \) è ben definita mentre
>>(per ogni r esistono n,m∈Z t.c r=na+mb)
è un'affermazione falsa dato che non tutti i punti del piano sono combinazioni intere si \(\displaystyle a \) e \(\displaystyle b \). In definitiva la riga scritta sopra equivale a
nodo<=> VERO∧FALSO (cioè nodo<=>FALSO)
W.T.F.????
Spero di non averti creato più dubbi di prima ...
You are in a comfortable tunnel like hall.
To the east there is a round green door.
>OPEN DOOR
>GO EAST
静かに時の傷に苦しむ
群れを組んでわ飛ばない鷹
