Non quadrato in un anello particolare

[andreadel1988]

Sia $A=CC[x,y,z]//(x^2-yz^2)$, mostrare che $[y]$ non è un quadrato in $A$.
Allora io ho pensato di ragionare per assurdo ovvero pongo $[y]=[k]^2$. Si ha allora che $([x-kz])([x+kz])=[x^2-yz^2]=[0]$. Siccome $x^2-yz^2$ non divide ne $x-kz$ ne $x+kz$ allora $[x-kz]!=[0]$ e $[x-kz]!=[0]$, quindi $A$ non è un dominio. Non so bene come proseguire dopo (non so se tipo in qualche modo si dimostra che $A$ è dominio e quindi concludo per assurdo o altro), qualcuno mi sa dire?

[andreadel1988]

Mi è venuto in mente che in teoria $x^2-yz^2$ è irriducibile in $CC[x,y,z]$ e quindi $A$ è un campo. può andar bene?

[Stickelberger]

Mi è venuto in mente che in teoria $ x^2-yz^2 $ è irriducibile in $ CC[x,y,z] $ e quindi $ A $ è un campo. può andar bene?

Non penso. Anche $x$ è irriducibile in $ CC[x,y,z] $, ma $ CC[x,y,z]//(x) \cong CC[y,z]$ non è un campo.