Teorema su estensioni di campo

[francicko]

Sia $F$ un campo e sia $f$ un polinomio irriducibile avente radici distinte in $F[x]$.
Sia $E$ un campo di spezzamento di $f$ su $F$.
Allora esistono esattamente $|E:F|$ automorfismi $sigma : E->E$ tali che $sigma(a)=a$ per ogni $a$ $in$ $F$.
Non riesco a capire il sopraindicato teorema, ho visto su qualche dispensa online che si usa l'induzione , e poi si contano gli automorfismi, ma rimango perplesso.
Quale è l'idea alla base della dimostrazione?
Si potrebbe anche non fare uso del principio di induzione per arrivare al risultato?
Si potrebbe dimostrare le implicazioni sia $E $ campo di spezzamento, di dimensione $|E:F|=n$ allora esistono esattamente $n$ automorfismi ,ed il viceversa se esistono $n$ automorfismi allora l'estensione $E//F$ avrà dimensione $|E:F|=n$.
Grazie!