Esercizio sulla potenza e modulo

[valerimartohan]

12365439^987345316 congruo ad a modulo 122, come si ricava la a?

[Quinzio]

Non so se questa e' la strada piu' veloce, comunque si puo' fare cosi':

$12365439 = 122 n_1 + 7 $

Quindi $ 12365439 ^ {n_2} = (122n_1 + 7)^{n_2} = 122 n_3 + 7^{n_2}$

Ora inizia a fare la lista dei resti di $7^{n_2} / 122$ tenendo traccia ovviamente solo del resto.
Si vede che si forma un ciclo di lunghezza 60, ovvero $7^{n_2} mod 122 = 7^{n_2 + 60} mod 122 $.
Lista dei resti:

Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.

7
49
99
83
93
41
43
57
33
109
31
95
55
19
11
77
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113
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37
15
105
3
21
25
53
5
35
1
Poi ricomincia il ciclo
7
49
99
...

A questo punto si guarda l'esponente $987345316 = 60 n_4 + 16$.
$7^{60n_4 + 16} mod 122 = 7^16 mod 122$

Il 16imo resto della lista e' 77, quindi la soluzione del problema e' 77.

Salvo errori di calcolo.

[valerimartohan]

Grazie!

[valerimartohan]

Sarebbe stato possibile risolvere il problema con la formula phi di Eulero?

Non so se questa e' la strada piu' veloce, comunque si puo' fare cosi':

$12365439 = 122 n_1 + 7 $

Quindi $ 12365439 ^ {n_2} = (122n_1 + 7)^{n_2} = 122 n_3 + 7^{n_2}$

Ora inizia a fare la lista dei resti di $7^{n_2} / 122$ tenendo traccia ovviamente solo del resto.
Si vede che si forma un ciclo di lunghezza 60, ovvero $7^{n_2} mod 122 = 7^{n_2 + 60} mod 122 $.
Lista dei resti:

Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.

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Poi ricomincia il ciclo
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...

A questo punto si guarda l'esponente $987345316 = 60 n_4 + 16$.
$7^{60n_4 + 16} mod 122 = 7^16 mod 122$

Il 16imo resto della lista e' 77, quindi la soluzione del problema e' 77.

Salvo errori di calcolo.